Auf diesen Seiten werden die wesentlichen Inhalte der Vorlesung Mathematik für Informatik 2 zusammengefasst, deren Schwerpunkt die Grundlagen der Analysis sind. Es gibt darüber hinaus zahlreiche Lehrbücher über Analysis, die im Wesentlichen ähnlich aufgebaut sind. Diese Bücher sind meist sehr umfangreich und wir haben in dieser Vorlesung versucht, uns auf die Kernaspekte der Analysis zu konzentrieren und dabei trotzdem den Großteil der vorgestellten mathematischen Aussagen zu beweisen. Neben den Grundlagen der Analysis soll Ihnen diese Vorlesung damit auch einen Einblick in die mathematische Beweisführung geben, die Sie im Laufe des Studiums auch in vielen anderen Kontexten anwenden werden.

Die stärksten Überschneidungen hat die Vorlesung mit dem Lehrbuch “Analysis 1” bzw. “Analysis 2” von Otto Forster. Das zweite Kapitel, in dem wir die reellen Zahlen einführen, orientiert sich am lesenswerten Skript von Dr. R. Busam (Universität Heidelberg). Außerdem basiert der gesamte Inhalt auf dem vorherigen MafI2-Skript von Prof. Dr. Peter Buchholz und Prof. Dr. Günter Rudolph. Ein weiteres zu empfehlendes Lehrbuch mit sehr vielen Anwendungsbeispielen und Programmieranwendungen in Python ist “Konkrete Mathematik – nicht nur für Informatiker” von Prof. Dr. Edmund Weitz (Universität Hamburg), von dem manche unserer Demo-Applikationen inspiriert wurden.

Das hier gewählte Onlineformat für das Skript bietet viele Vorteile und (hoffentlich) wenige Nachteile für Sie. So können wir zum Beispiel interaktive Demos einbinden, sowie Elemente interaktiv ein- und ausblenden. Die wichtigsten Funktionalitäten dieses Online-Skripts haben wir auf einer kleinen Tutorial-Seite zusammengefasst. Dies ist allerdings erst die erste Version des Skripts und sollten Ihnen Fehler auffallen, oder falls sie Ideen für sinnvolle Erweiterungen haben, geben Sie uns gerne Feedback.

Grundlagen

Sehr allgemein gefasst ist die Analysis die Wissenschaft der Beziehungen zwischen Zahlen. Die Zahlen bilden damit also das Fundament der Analysis und wir müssen uns zunächst einig sein, was diese überhaupt sind. Bevor wir jedoch in auto mit den Definitionen der Zahlenmengen starten können, führen wir ein paar grundlegende Definitionen über Aussagen und allgemeine Mengen in auto ein. Außerdem benötigen wir Techniken, die es uns erlauben, aus bestehenden Aussagen neue wahre Zusammenhänge/Eigenschaften zu erschließen. Die wichtigesten Beweistechniken werden dazu in auto vorgestellt. Die Inhalte dieses Grundlagenkapitels haben Sie vielleicht schon in der Veranstaltung Mathematik für Informatik 1 kennen gelernt, da diese in fast jedem Gebiet der Mathematik essenziell sind. Sollten ihnen die Themen also noch gut im Gedächtnis sein, genügt es vermutlich, dieses Kapitel grob zu überfliegen.

Aussagen und Mengen

Wir starten mit unserer ersten Definition. Bei Definitionen geht es darum, dass wir einem Objekt, das eine Anzahl von Eigenschaften besitzt, einen Namen geben wollen. In diesem Fall wollen wir “(schrift)sprachlichen Gebilden, denen ein Wahrheitswert wahr oder falsch zugeordnet werden kann” den Namen “Aussage” geben, damit wir in Zukunft einfach dieses kurze Wort statt der langen Beschreibung verwenden können. Definitionen benötigen daher auch keinen Beweis, da wir uns dabei nur auf eine Kurzschreibweise festlegen aber noch keine Behauptungen damit aufstellen. Wir werden Definitionen immer mit der gleichen Farbe hinterlegen und durchnummerieren. Für unsere Definitionen werden wir in vielen Fällen auch direkt Beispiele angeben:

Machen wir gleich mit einer zweiten Definition weiter:

Wir können auch mehr als zwei Aussagen mit diesen Operationen verknüpfen und durch Klammern die Rangfolge angeben, wie z.B. \(A \or (B \and C)\), gelesen “\(A\) oder \(B\) und \(C\)”. Bei der gesprochenen Variante, stellt sich bereits heraus, dass die Formelschreibweise eindeutiger ist, denn der gesprochene Satz könnte auch zu \((A \or B) \and C\) passen.

Um festzustellen, wann so eine kombinierte Aussage wahr oder falsch ist, benutzt man häufig sogenannte Wahrheitstafeln. Dabei trägt man zunächst alle in der Gesamtaussage vorkommenden Teilaussagen in jeder möglichen Kombination von wahr und falsch ein. Anschließend arbeitet man sich zur Zielaussage vor. Bei zwei Aussagen \(A\) und \(B\) ergeben sich zum Beispiel folgende Kombinationsmöglichkeiten

Der letzten Definition folgend können wir die Wahrheitstafel für die Basisoperationen bestimmen

Mit den Wahrheitstafeln haben wir das erste Werkzeug, mit dessen Hilfe wir neue Zusammenhänge erschließen können. Nach auto sind zwei Aussagen äquivalent, wenn sie den gleichen Wahrheitswert besitzen. Das bedeutet, wenn für zwei Aussagen die jeweilige Spalte in der vollständigen Wahrheitstafel identisch ist, sind die Aussagen äquivalent. Damit können wir uns an unseren ersten Satz wagen. Sätze verwenden wir für alle wichtigen neuen Aussagen, die wir aus bekannten Aussagen oder Definitionen ableiten. Bisher können wir die Beweise nur über Wahrheitstafeln führen, aber wir werden in auto noch einige weitere Beweismethoden einführen.

In den Aussagen, welche wir im Laufe der Vorlesung beweisen wollen, kommen fast immer Mengen vor. Beispielsweise wollen wir eine Gleichung für alle ganzen Zahlen beweisen, oder für alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Manchmal wollen wir zeigen, dass es eine bestimmte Zahl gibt, für die eine Aussage gilt. Wir werden die Zahlenmengen erst in auto detailliert einführen und starten hier zunächst mit dem allgemeinen Mengenbegriff.

Nun können wir Aussagen mit Mengen kombinieren, indem wir eine (oder mehrere) Variable(n) in der Aussage vorkommen lassen.

Wir erkennen an den obigen Beispielen, dass für eine eindeutige Zuweisung von wahr oder falsch noch angegeben werden muss, aus welcher Menge die Variable \(n\) stammt. Deswegen heißt es in der letzten Definition auch “freie Variable”, weil diese bisher noch zu gar keiner Menge gehört. Die Mengenangabe wird sehr häufig von einem sogenannten Quantor begleitet:

Ab sofort werden wir in allen Definitionen auch immer wieder mit Mengen verknüpfte Aussagen sehen, sodass Sie sich schnell an die Schreibweise gewöhnen werden. Als nächstes definieren wir, wie wir zwei Mengen vergleichen können.

Wir haben hier die echte Teilmenge definiert, indem wir die Definitionen von Gleichheit und Teilmenge kombiniert haben. Es wird noch häufiger vorkommen, dass wir aus vorherigen Definitionen wieder neue Definitionen ableiten. Sie können zur Übung einmal versuchen die Gleichheit über die Teilmenge zu definieren.

Wir haben hier auf eine Schreibweise mit Quantoren zurückgegriffen, um Sie daran zu gewöhnen. Allerdings werden Sie in vielen Lehrbüchern eher eine Definition über Implikation und Äquivalenzpfeile finden, wobei man man den \(\forall\)-Quantor häufig weglässt. Sie können sich leicht selbst davon überzeugen, dass folgende Definitionen äquivalent zur obigen Definition sind:

• \(A = B\), wenn \(\quad a \in A \,\Leftrightarrow\, a \in B\)
• \(A \subseteq B\), wenn \(\quad a \in A \,\Rightarrow\, a \in B\)

Wir können Mengen auch kombinieren und damit neue Mengen erhalten:

Die Mengenverknüpfungen lassen sich auch gut in sogenannten Venn-Diagrammen darstellen. Die Venn-Diagramme der Basisverknüpfungen sind in folgender Abbildung gezeigt.

Vermutlich ist Ihnen bereits aufgefallen, dass die Mengenverknüpfungen sehr ähnlich sind zu den Aussagenverknüpfungen aus auto. Tatsächlich können Venn-Diagramme ebenfalls dabei helfen, Verknüpfungen von Aussagen graphisch darzustellen. Verknüpft man beispielsweise drei Aussagen \(A, B, C\) und stellt sich als Beispielaussagen \(m \in M_A\) (für \(A\)), \(m \in M_B\) (für \(B\)), \(m \in M_C\) (für \(C\)) vor, dann ist eine Aussagenverknüpfung wie \(A \and (B \or C)\) äquivalent zu \(m \in M_A \cap (M_B \cup M_C)\) und kann über ein Venn-Diagramm veranschaulicht werden. Versuchen Sie sich als Übung zu überlegen, wie die Venn-Diagramme der Aussagenverknüpfungen aus auto aussehen oder verdeutlichen Sie sich die Äquivalenzen aus auto mithilfe eines Venn-Diagramms. Zum Experimentieren mit Venn-Diagrammen, können Sie die folgende Demo benutzen:

Beweistechniken

Den Nachweis der Richtigkeit einer Aussage auf Basis bekannter wahrer Aussagen nennt man Beweis. Bisher haben wir nur Beweise durch Wahrheitstafeln kennen gelernt. Diese Beweismethode wird allerdings nur in der grundlegenden Aussagenlogik verwendet. In diesem Kapitel stellen wir die gängisten Beweismethoden vor, welche wir in der gesamten Vorlesung immer wieder verwenden werden.

Wichtige neue Aussagen oder Gruppen von Aussagen nennen wir Sätze. In der Regel werden am Anfang eines Satzes eine Reihe von Voraussetzungen genannt, und anschließend eine Aussage getätigt, die unter diesen Voraussetzungen wahr sein soll. Der Beweis versucht nun, die Satzaussage auf wahr abzubilden. Zur Verfügung stehen dafür die Annahmen des Satzes und die sogenannten Axiome. Axiome sind Grundsätze, die man als wahr akzeptiert und damit keinen Beweis benötigen. In der Mathematik versucht man, mit möglichst wenigen dieser Axiome auszukommen. Wenn bereits andere Sätze bewiesen wurden, können auch diese bei der Beweisführung verwendet werden.

Am Ende des Beweises gönnt sich der Mathematiker ein kleines Quadrat (siehe rechts unten), um seine Freude über den gelungenen Beweis auszudrücken. Alternativ liest man auch öfter q.e.d. (quod erat demonstrandum) von Mathematikern, die mit ihren Lateinkenntnissen angeben wollen oder auch wzbw/wzzw (was zu beweisen/zeigen war).

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Beispiele für die einzelnen Beweise werden erst im nächsten Kapitel folgen, da wir bisher noch nicht unsere Axiome eingeführt haben. Zusätzlich gibt es noch unseren kleinen Exkurs Beweistechniken. Hier haben wir separat für jede Kategorie einfache Beweise geführt, bei denen die natürlichen Zahlen als bekannt vorausgesetzt werden.

Direkter Beweis

Der Direkte Beweis ist vermutlich die am häufigsten eingesetzte Beweismethode. Hierbei nutzt man Implikationen, um von den Voraussetzungen des Satzes über die Axiome und bereits bewiesene Sätze auf die Behauptung des Satzes zu schließen. Dabei werden häufig mehrere Implikationen aneinandergereiht.

Dies ist zulässig, da für drei Aussagen \(A\), \(B\), \(C\) gilt:

\[\left((A \Rightarrow B) \and (B \Rightarrow C)\right) \quad \Leftrightarrow \quad (A \Rightarrow C),\]

wovon man sich leicht mit einer Wahrheitstafel überzeugen kann. Das heißt, eine Kette von Implikationen ist gleichbedeutend damit, dass aus der ersten Aussage, die letzte folgt.

Häufig sollen nicht nur Implikationen (\(\Rightarrow\)) sondern Äquivalenzen (\(\Leftrightarrow\)) gezeigt werden. Dafür verwendet man entweder analog zur Implikationskette eine Äquivalenzkette, also eine Reihe äquivalenter Aussagen, die von den Voraussetzungen des Satzes bis zur Behauptung des Satzes führt. Alternativ führt man zwei separate Beweise mit jeweils einer Implikation, denn es gilt:

\[(A \Leftrightarrow B) \quad \Leftrightarrow \quad \left((A \Rightarrow B) \and (B \Rightarrow A)\right).\]

Eine Äquivalenz ist also gleichbedeutend mit zwei Implikationen, einmal von “links nach recht” und einmal von “rechts nach links”. Wir leiten die beiden Fälle dann auch oft mit ‘\(\Rightarrow\) Richtung’ und ‘\(\Leftarrow\) Richtung’ ein.

Indirekter Beweis - Kontraposition

Der Indirekte Beweis, oder der Beweis der Kontraposition ist eine Sonderform des direkten Beweises. Dabei wird folgende Äquivalenz ausgenutzt:

\[(A \Rightarrow B)\quad \Leftrightarrow\quad (\neg B \Rightarrow \neg A)\]

Ein kleines Beispiel:

• Ein Apfel ist eine Frucht (\(A \Rightarrow F\) - direkt).
  
• Alles, was keine Frucht ist, kann auch kein Apfel sein (\(\neg F \Rightarrow \neg A\) - Kontraposition).

Manchmal ist es einfacher die Kontraposition zu beweisen als die ursprüngliche Richtung der Implikation. Daher lohnt es sich, auch die Kontrapositon eines Satzes zu formulieren und dann zu überlegen, welcher Beweis einfacher zu führen ist. Andersherum ist es oft ratsam, sich zu einer bewiesenen Implikation auch noch die Kontraposition zu formulieren, da man dadurch häufig eine andere Sichtweise auf den Satz bekommt.

Widerspruchsbeweis

Sollen wir für einen Satz eine Aussage \(A\) beweisen, nehmen wir für den sogenannten Widerspruchsbeweis (oder auch reductio ad absurdum) an, dass \(A\) nicht gilt, Davon ausgehend versuchen wir auf eine andere Aussage \(C\) zu schließen, von der wir wissen, dass sie falsch ist. Damit kann unsere ursprüngliche Annahme, dass \(A\) nicht gilt, nicht richtig sein und somit folgt, dass \(A\) wahr sein muss. Der Widerspruch wird gerne mit einem Blitzsymbol (↯) markiert

Die aussagenlogische Grundlage für einen Widerspruchsbeweis ist ein wenig komplizierter, aber wir gehen es schrittweise noch einmal durch: Wir nehmen an, dass \(A\) nicht gilt, also \(\neg A\) wahr ist. Daraus folgern wir eine Aussage \(C\) (\(\neg A \Rightarrow C\)), von der wir wissen, dass sie falsch ist, also \(\neg C\) wahr (\((\neg A \Rightarrow C) \and \neg C\)). Daraus folgt \(A\), also insgesamt

\[\left((\neg A \Rightarrow C) \and \neg C\right) \quad\Rightarrow\quad A\]

Überzeugen Sie sich gerne mit einer Wahrheitstafel von der Richtigkeit dieser Aussage.

Ein Beispiel aus dem Alltag wäre:

• Ich finde meinen Schlüsselbund nicht.
• Ich nehme an, ich hätte ihn zuhause vergessen.
• Ich bin aber gerade in der Uni und mit dem Fahrrad hergekommen.
• Das Fahrrad ist angeschlossen. ↯
• Also kann ich den Schlüssel nicht zuhause vergessen haben.

Vollständige Induktion

Die letzte Beweismethode ist die sogenannte vollständige Induktion. Diese ist besonders gut dazu geeignet, eine Aussage \(A(n)\) zu beweisen, die für alle natürlichen Zahlen \(n\) gelten sollen. Wir können unmöglich die Aussage für jede Zahl ausprobieren, da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Hier kommt die vollständige Induktion ins Spiel, diese erfolgt immer in den folgenden 3 Schritten:

1. Induktionsanfang: Wir beweisen \(A(n = 1)\).
2. Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, \(A(n)\) gelte für ein \(n \in \N\)
3. Induktionsschritt: Wir beweisen die Implikation: \(A(n) \Rightarrow A(n + 1)\)

Wenn uns das gelingt, gilt die Aussage für alle \(n \in \N\), denn wir haben gezeigt, dass sie für \(n = 1\) gilt, daraus folgt, dass sie für \(n = 2\) gilt, daraus folgt dass sie für \(n = 3\) gilt, usw…

Oft vergleicht man die vollständige Induktion mit dem Versuch eine Leiter zu besteigen, von der man nicht weiß, wie hoch sie ist. Wenn man aber sicher weiß, dass man auf die erste Sprosse kommt (Induktionsanfang) und von egal welcher Sprosse ausgehend (Induktionsvoraussetzung) immer weiß, wie man die jeweils nächste erreicht (Induktionsschritt), dann kann man die komplette Leiter erklimmen.

Es gibt verschiedene Varianten der vollständigen Induktion. So muss man zum einen nicht bei \(n = 1\) starten. Manche Aussagen gelten nur für alle \(n \geq n_0\). Man kann eine Aussage auch für alle ganzen Zahlen beweisen, indem man bei \(n = 0\) startet und dann sowohl in negative als auch in positive Richtung eine vollständige Induktion führt.

Zahlenmengen

Historie der Zahlen

Für einen etwas sanfteren Einstieg in das Thema wird in der Vorlesung zunächst die historische Entwicklung der Zahlen betrachtet. Ähnlich wie es auch in der Schule eingeführt wird, beginnt diese Entwicklung mit den natürlichen Zahlen und erst danach wurden nach und nach auch rationale, reelle und schließlich komplexe Zahlen von der Menschheit akzeptiert. Jeder Schritt war mit viel Widerstand verbunden, da Menschen sich bekanntermaßen nur äußerst ungern an Neues gewöhnen wollen. Da das Thema deutlich besser in Video- als in Schriftform konsumierbar ist, verweisen wir an diese Stelle auf die entsprechende Vorlesungsaufzeichnung.

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

Wir werden nun die Axiome einführen, welche die Basis für alle weiteren Sätze in dieser Vorlesung bilden. Ein Axiom ist ein Grundsatz, den man ohne Beweis als wahr anerkennt. Dabei versucht man in der Mathematik, so wenig Axiome wie mögliche zu verwenden und dagegen so viel wie möglich daraus abzuleiten, ohne weitere Axiome zu benötigen. Oft wird in der Schule größtenteils axiomatisch gearbeitet (ohne dieses Wort dafür zu verwenden): man lernt “Rechenregeln”, die man immer wieder anwendet und von denen man irgendwann “glaubt”, dass sie wahr sind. Im Studium dagegen versuchen wir, diesen Ansatz weitestgehend zu vermeiden und den überwiegenden Teil des Regelwerks, das wir uns über die Jahre erarbeiten, auch zu beweisen. Sie dürfen sich in dieser Veranstaltung also gerne eine Grundskepsis angewöhnen und immer wieder hinterfragen:

• Warum darf ich das so machen?
• Warum gilt das?

Da auch fast alle folgenden Veranstaltungen im Studium immer wieder Beweise für sehr abstrakte Konzepte durchführen werden, ist ein Ziel dieser Veranstaltung, Sie darauf entsprechend vorzubereiten.

Die Definition der reellen Zahlen \(\R\) basiert auf drei Axiomklassen. Diese Axiomklassen kann man stark vereinfacht wie folgt auflisten:

1. Grundregeln der Addition und Multiplikation (Körperaxiome)
2. Grundregeln zum Größenvergleich zweier Zahlen (Ordnungsaxiome)
3. Jeder ‘Nachbar’ einer reellen Zahl ist wieder eine reelle Zahl (Vollständigkeitsaxiom)

Wir werden in diesem Kapitel die Axiome in dieser Reihenfolge einzeln durchgehen. Im nächsten Kapitel werden wir dann Folgerungen aus den Axiomen ableiten. Im Wesentlichen sind diese Folgerungen all die “Rechenregeln”, die Sie bereits aus der Schule kennen, nur werden wir diese hier beweisen, indem wir sie auf die Axiome zurückführen.

Beginnen wir also mit der Definition eines sogenannten Körpers.

Achtung: Dies ist bisher nur eine gewöhnliche Definition und noch kein Axiom. Dieses folgt erst jetzt:

Da wir dies zum Axiom erhoben haben, müssen wir hier nichts beweisen oder die Definition nachprüfen. Das Axiom nehmen wir einfach für die Zukunft als wahr an. Es bildet damit einen der drei Steine des Fundaments der Analysis.

Es gibt verschiedene Körper in der Mathematik. Beispielsweise sind auch die rationalen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper. Und auch die komplexen Zahlen, die wir später einführen werden, sind ein Körper. Die Operationen \(+\) und \(\cdot\) müssen auch nicht die übliche Addition und Multiplikation sein. Wichtig ist lediglich, dass die Eigenschaften K1 bis K9 erfüllt sind. Zur Vereinfachung treffen wir für die Zukunft noch die Vereinbarung, dass wir statt \(a \cdot b\) auch kurz \(ab\) schreiben. Darüber hinaus vereinbaren wir, dass “Punkt vor Strich” gilt, wodurch wir z.B. kurz \(a + bc\) schreiben können statt \(a + (bc)\).

Als nächstes brauchen wir auf dem Körper der reellen Zahlen eine Ordnung, also eine Möglichkeit, verschiedene reelle Zahlen miteinander zu vergleichen. Dafür dient die nächste Definition.

Warum diese Definition einen Vergleich möglich macht, sehen wir an der folgenden, darauf aufbauenden Definition.

Sobald wir also Zahlen als positiv oder nicht-positiv identifizieren können, sind die üblichen Größenvergleiche zwischen beliebigen Zahlen möglich. Um die Welt der Größenvergleiche für die reellen Zahlen zu eröffnen, erheben wir Folgendes zum Axiom:

Sobald ein Vergleich von Zahlen möglich ist, können wir auch das Maximum und das Minimum einer Menge bestimmen, also das größte oder kleinste Element. Die nächste Definition bietet sich hier also gut an:

Hier schließt sich die Frage an, ob jede Menge ein Maximum/Minimum hat. Die reellen Zahlen selbst sind dafür direkt ein Gegenbeispiel, da man für jede reelle Zahl immer noch eine größere und kleinere reelle Zahl finden kann. Bei Mengen mit endlich vielen Elementen, wie zum Beispiel \(M_1 = \set{1,2,3}\), ist es dagegen recht einfach, ein Minimum und ein Maximum zu finden. Aber auch unendliche Mengen, wie zum Beispiel die Menge \(M_2 = \set{m \in \R \with m \leq 2 \and m \geq 1}\), können ein klares Minimum und Maximum haben.

Betrachten wir nun die Menge \[ M_3 = \set{ \frac{n}{n + 1} \With \forall n \in \N } = \set{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}, \frac{7}{8},\ldots}. \] Hier lässt sich recht einfach das Minimum \(1/2\) bestimmen. Aber obwohl klar ist, dass jedes Element kleiner als Eins ist, da der Nenner des Bruchs kleiner ist als der Zähler, ist \(\mathrm{max}(M_3) \neq 1\), denn \(1\) ist kein Element von \(M_3\), und die Definition des Maximums fordert, dass das Maximum ein Element der Menge sein muss. Für solche Fälle, in denen wir ein “Maximum außerhalb der Menge” angeben können, ist die nächste Definition gedacht.

Machen Sie sich den Unterschied zwischen den Definitionen auto-no und auto-no bewusst: Eine obere/untere Schranke muss kein Element der Menge sein, ein Minimum/Maximum schon. Für die Menge \(M_3\) von oben wäre \(m = 1\) eine obere Schranke, aber kein Maximum. Allerdings wäre auch \(m = 2\), oder allgemein jedes \(m \geq 1\) eine obere Schranke. Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, brauchen wir noch eine weitere Definition.

Hiermit wäre also \(\mathrm{sup}(M_3) = 1\). Achtung, selbst wenn dies (wie hier) offensichtlich ist, muss eine solche Behauptung bewiesen werden. Da wir allerdings erst im nächsten Kapitel die wichtigsten Rechenregeln kennen lernen werden, lassen wir den Beweis hier ausnahmsweise aus. Führen Sie den Beweis aber gerne als Übung durch. Wir werden in den nächsten Kapiteln noch häufig mit beschränkten Mengen arbeiten, da diese viele nützliche Eigenschaften haben. Machen Sie sich bewusst, dass die letzten vier Definitionen alle auf der Definition des geordneten Körpers aufbauen.

Nun sind wir fast fertig mit der axiomatischen Einführung der reellen Zahlen. Den Großteil der Gesetze, die in der Schule benutzt werden, kann man aus den bisherigen Axiomen ableiten. Dies werden wir in auto auch ausführlich tun. Es gibt nur noch ein Problem: Sowohl die Körperaxiome als auch die Ordnungsaxiome gelten auch für die rationalen Zahlen. Zur Zeit unterscheiden sich unsere reellen Zahlen also noch nicht von den rationalen Zahlen. Aber warum sind wir mit den rationalen Zahlen nicht einfach zufrieden? Die Antwort ist, dass wir die reellen Zahlen so definieren wollen, dass sie alle Zahlen enthalten, die wir auf einem Zahlenstrahl angeben/konstruieren können. Es soll also keine “Lücken” geben. Sie wissen aber vielleicht bereits aus der Schule, dass auch sogenannte irrationale (nicht-rationale) Zahlen existieren. Das prominenteste Beispiel ist \(\sqrt{2}\), für das wir später noch beweisen werden, dass es nicht rational sein kann, also nicht als Bruch aus ganzen Zahlen darstellbar ist. Allerdings konnten bereits die alten Griechen eine Strecke konstruieren, deren Länge \(x^2 = 2\) erfüllt. Bei den Bruchzahlen \(\Q\) gibt es also noch “Lücken” auf der Zahlengerade, daher fehlt uns noch eine Eigenschaft der reellen Zahlen, um diese Lücken zu schließen.

Wir könnten jetzt einfach etwas fordern wie “\(\R\) hat keine Lücken auf der Zahlengerade”. Auch wenn das zunächst plausibel klingen mag, fehlt uns hier eine klare Definition der “Lücken” und der “Zahlengerade” und das, ohne dafür die reellen Zahlen zu nutzen. Genauso können wir auch nicht fordern, dass die reellen Zahlen die Lösung der Gleichung \(x^2 = 2\) beinhalten sollen. Dann wären zwar die reellen und rationalen Zahlen unterschiedlich definiert, aber wir hätten damit noch lange nicht alle “Lücken” geschlossen. Wir suchen also eine möglichst Grundlegende Eigenschaft der reellen Zahlen, welche die rationalen Zahlen nicht erfüllen.

Genau darum geht es im letzten Axiom, dem sogenannten Vollständigkeitsaxiom. Genau genommen gibt es nicht das Vollständigkeitsaxiom, denn im Gegensatz zu den ersten beiden Axiomen, die in fast jedem Lehrbuch bis auf kleine Abwandlungen identisch sind, gibt es für die Vollständigkeit der reellen Zahlen sehr unterschiedliche Axiome, die sich allerdings alle jeweils auseinander herleiten lassen. Man wählt also ein Vollständigkeitsaxiom und die übrigen werden zu normalen Sätzen, die sich mithilfe des gewählten Axioms beweisen lassen. Geben wir also zunächst unsere Definition der Vollständigkeit an:

Zunächst einmal fällt auf, dass dieses Axiom im Vergleich zu unseren eigenen Versuchen weiter oben mit unseren bisherigen Definitionen sehr klar formuliert ist. Wir könnten hier übrigens auch genauso gut das Infimum anstelle des Supremums verwenden.

Doch was sagt es aus? Die Aussage des Axioms ist uninteressant für Teilmengen, bei denen das Supremum ein Element der Teilmenge selbst ist (also das Maximum der Menge). Denn wenn das Element innerhalb einer Teilmenge von \(\R\) liegt, liegt es natürlich auch in \(\R\) selbst und Selbiges würde auch gelten, wenn wir \(\R\) durch \(\Q\) ersetzen. Interessanter sind Teilmengen, bei denen das Supremum nicht in der Menge liegt, wie zum Beispiel unsere zuvor definierte Menge \(M_3\), bei denen Elemente der Menge beliebig nah an das Supremum herankommen, es aber nie ganz erreichen. Unser Axiom besagt, dass auch solche Suprema, die kein Element der Teilmenge sind, in \(\R\) enthalten sein sollen. Oder anders formuliert: Wenn wir uns einer Zahl \(x\) durch andere Elemente aus \(\R\) beliebig dicht nähern können, dann soll auch \(x \in \R\) sein. Deswegen nennt man Körper mit dieser Eigenschaft vollständig, weil damit keine “benachbarten” Elemente des Körpers existieren können, die nicht auch zum Körper gehören.

Aber warum gilt das Axiom nicht auch für die rationalen Zahlen \(\Q\)? Um dies zu beweisen, müssen wir eine Teilmenge von \(\Q\) finden, deren Supremum eine Zahl ist, die nicht in \(\Q\) liegt. Diesen Beweis werden wir im folgenden auto führen. Machen Sie sich an dieser Stelle keine Sorgen, wenn Ihnen die Vollständigkeit der reellen Zahlen nicht ganz einleuchtend erscheint. Wir werden im Laufe der Vorlesung noch häufig darauf zurückkommen und viele Beispiele sehen.

Über diese drei Axiome besitzen die reellen Zahlen nun alle Eigenschaften, die wir in der Analysis benötigen. Alle nun folgenden Aussagen in dieser Vorlesung lassen sich aus diesen Axiomen herleiten. Als Nächstes können wir uns also endlich an die ersten Beweise wagen, anstatt immer nur zu definieren. Zur Erinnung: in auto finden Sie eine Übersicht über die wichtigsten Beweismethoden.

Folgerungen aus den Axiomen

Wie bereits angekündigt, werden wir alle Regeln/Aussagen, die über die eben eingeführen Axiome hinausgehen, daraus ableiten. Die Axiome sind damit die einzigen Grundsätze, was wir glauben, den Rest wollen wir wissen. Es ist Ihnen vielleicht aufgefallen, dass wir bisher noch keine Subtraktion oder Division eingeführt haben, oder einfache Regeln, wie Kürzungsregeln (\(2/4 = 1/2\)), oder binomische Formeln.

Hierzu werden wir nun die ersten Beweise durchführen, bei denen wir, ausgehend von den Axiomen, diese Rechenregeln herleiten. Die Beweise sind hier noch nicht besonders anspruchsvoll, aber gerade weil uns vieles als “ist doch logisch” vorkommt, fallen gerade diese Beweise am Anfang oft schwer.

Folgerungen aus den Körpereigenschaften der Addition

Wir starten mit den ersten vier Körpereigenschaften, die sich nur mit der Addition beschäftigen. Zur Wiederholung geben wir sie hier erneut an

\[ \begin{flalign*} \quad(\text{K1})& &\forall a,b,c \in K :\; a + (b + c) = (a + b) + c && \text{(Assoziativität $+$)}\\[1mm] \quad(\text{K2})& &\forall a,b \in K :\; a + b = b + a && \text{(Kommutativität $+$)}\\[1mm] \quad(\text{K3})& &\exists 0 \in K \; \forall a \in K\,:\, a + 0 = a && \text{(neutrales Element $+$)}\\[1mm] \quad(\text{K4})& &\forall a \in K \; \exists (-a) \in K\,:\, (-a) + a = 0 && \text{(inverses Element $+$)} \end{flalign*} \]

Fangen wir mit ein paar ganz simplen Folgerungen an:

auto(b) kann man ebenfalls für eine beliebige endliche Anzahl von Summanden zeigen, allerdings ist die Beweisführung immer eine Aneinaderreihung von \(\KA\) und \(\KB\) und daher nicht sonderlich spannend hier anzuführen. Für unendlich viele Summanden gilt die Regel übrigens nicht immer, wie wir in auto noch sehen werden.

Im nächsten Satz sehen wir zum ersten Mal einen Eindeutigkeitsbeweis, in diesem Fall die Eindeutigkeit des \(0\)-Elements und des \((-a)\)-Elements. Eindeutigkeitsbeweise sollen stets zeigen, dass es kein zweites Element mit der gleichen Eigenschaft geben kann. Ein Eindeutigkeitsbeweis ist kein Existenzbeweis, also nur weil wir beweisen, dass es höchstens ein Element mit dieser Eigenschaft gibt, heißt es noch nicht, dass es auch genau eins gibt. Daher führt man häufig sowohl einen Existenzbeweis als auch einen Eindeutigkeitsbeweis durch. Letzterer wird fast immer per Widerspruchsbeweis geführt. In diesem Fall ist die Existenz des Nullelements und des negativen Elements bereits über \(\KC\) bzw \(\KD\) gegeben, das heißt wir müssen nur noch die Eindeutigkeit zeigen.

Ihnen fällt vielleicht auf, wie akribisch wir jeden Schritt mit einem unserer Axiome oder den Satzannahmen begründen. Dies ist besonders an dieser Stelle sehr wichtig, da man sonst leicht vergisst, warum wir eine Regel anwenden dürfen und stattdessen schnell wieder in unseren “Schulregelglauben” verfallen. Später werden wir natürlich nicht mehr für jede Vertauschung von zwei Summanden auf \(\KB\) verweisen. Aber für Ihre ersten Übungen sollten Sie sich dieses akribische Vorgehen angewöhnen.

Wir schließen die Additionsregeln mit einem sehr wichtigen Satz, in dem wir beweisen, dass wir eine Gleichung mit einer Addition wie gewohnt umstellen dürfen:

Wir benutzen in Zukunft meist die Kurzschreibweise \(a + (-b) = a - b\), wodurch die Subtraktion als Addition einer negativen Zahl definiert ist.

Folgerungen aus den Körpereigenschaften der Multiplikation

Fahren wir fort mit den 4 Eigenschaften der Multiplikation:

\[ \begin{flalign*} \quad(\text{K5})& &\forall a,b,c \in K :\; a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c && \text{(Assoziativität $\cdot$)}\\[1mm] \quad(\text{K6})& &\forall a,b \in K :\; a \cdot b = b \cdot a && \text{(Kommutativität $\cdot$)}\\[1mm] \quad(\text{K7})& &\exists 1 \in K\setminus\set{0} \; \forall a \in K \setminus\set{0} :\; a \cdot 1 = a && \text{(neutrales Element $\cdot$)}\\[1mm] \quad(\text{K8})& &\forall a \in K\setminus\set{0} \; \exists a^{-1} \in K :\; a^{-1} \cdot a = 1 && \text{(inverses Element $\cdot$)} \end{flalign*} \]

Vergleichen wir diese mit K1 bis K4 fällt auf, dass die Additionseigenschaften sehr ähnlich sind zu K5 bis K8, es muss lediglich überall \(+\) durch \(\cdot\) ersetzt werden und das neutrale und inverse Element haben ein eigenes Symbol. Man nennt Mengen, die diese 4 Eigenschaften bezüglich einer Operation erfüllen, eine Gruppe. Wir hätten also auch den Körper definieren können, indem wir sagen, dass ein Körper (\(K, +, \cdot\)) die 4 Gruppeneigenschaften bezüglich (\(K, +\)) und (\(K\setminus\set{0}, \cdot\)) erfüllen muss. Dann hätte nur noch K9 gefehlt. Wir können also alle Folgerungen aus dem letzten Kapitel einfach auf die Multiplikation übertragen, ohne auch nur einen weiteren Beweis zu führen.

Wie bereits geschrieben, benutzen wir in Zukunft meist die Kurzschreibweise \(ab = a \cdot b\). Außerdem definieren wir die Division \(\frac{a}{b} := ab^{-1}\). Die typischen Bruchrechnungsregeln ergeben sich ebenfalls aus den Körpereigenschaften:

Folgerungen aus den Distributivgesetzen

Es fehlt noch eine letzte Körpereigenschaft, bei der sowohl Addition als auch Multiplikation zum Einsatz kommen. Auch diese hier noch einmal zur Wiederholung:

\[ \begin{flalign*} \quad(\text{K9})& &\forall a,b,c \in K \,:&\quad a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c & \\[1mm] & &\forall a,b,c \in K \,:&\quad (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c & \text{(Distributivgesetze)} \end{flalign*} \]

Daraus können wir folgern

Damit haben wir bereits einen Großteil der Regeln, die Sie vermutlich schon seit Jahren im Schlaf anwenden, aus den neun Eigenschaften eines Körpers abgeleitet. Wie bereits gesagt, gibt es auch andere Körper (wie \(\Q\)). Da wir nur die Körpereigenschaften benutzt haben, gelten die Regeln für beliebige Körper. Gehen wir nun einen Schritt weiter zu geordneten Körpern.

Folgerungen aus den Eigenschaften eines geordneten Körpers

Legen wir direkt los, indem wir die Eigenschaften eines geordneten Körpers noch einmal wiederholen:

\[ \begin{align*} (\text{O1}) &\quad \forall\, a \in K \text{ gilt genau eine der drei Beziehungen } (a \in P), (a = 0), (-a \in P)\\[2mm] (\text{O2}) &\quad \forall\, a,b \in P :\, a + b\, \in P\\[2mm] (\text{O3}) &\quad \forall\, a,b \in P :\, ab\, \in P\\ \end{align*} \]

Darüber hatten wir die Vergleichsoperatoren definiert:

\[ \begin{align*} a < b& \Leftrightarrow (b - a) \in P\\ a > b& \Leftrightarrow b < a\\ a \leq b& \Leftrightarrow (a < b)\or a = b\\ a \geq b& \Leftrightarrow b \leq a. \end{align*} \]

Mit diesen Eigenschaften können wir die üblichen Regeln für das Arbeiten mit Ungleichungen herleiten. Ab hier werden wir die Körpereigenschaften nicht mehr jedes Mal explizit in den Beweisen mit angeben, aber prüfen Sie gerne selbst nach, warum die Umformungen jeweils gelten.

In vielen Fällen ist es sinnvoll, reelle Zahlen zu betrachten, die einen gewissen maximalen Abstand zu \(0\) besitzen. Zum Beispiel haben alle \(x \in \R\) mit \(-2 \leq x \leq 2\) einen maximalen Abstand von \(2\). Um so etwas kompakt angeben zu können, definieren wir uns den (Absolut-)Betrag einer reellen Zahl.

Diese Betragsdefinition setzt einen geordneten Körper voraus. Wir werden später noch andere Betragsdefinitionen für ungeordnete Körper kennen lernen. Für Beträge lassen sich die folgenden Eigenschaften zeigen:

Über Beträge kann nicht nur der Abstand zur Null, sondern zu einer beliebigen Zahl angegeben werden. So haben beispielsweise alle \(x \in \R\), für die gilt \(|x - 2| < 3\) einen kleineren Abstand als \(3\) zur Zahl \(2\). Dies definiert eine sogenannte Metrik:

Es lässt sich leicht zeigen, dass wir über den Betrag eine Metrik auf \(\R\) definieren können:

Auch wenn wir für ungeordnete Körper verschiedene Elemente nicht der Größe nach ordnen können, so lässt sich zeigen, dass man in einigen Fällen eine Metrik definieren kann. Damit können wir trotzdem Sätze anwenden, in denen wir Abstände vergleichen.

Folgerungen aus der Vollständigkeit

Bisher haben wir unser Vollständigkeitsaxiom noch nicht verwendet und daher gelten alle bisherigen Regeln für beliebige (geordnete) Körper (z.B. auch \(\Q\)). Die Folgerungen aus der Vollständigkeit gelten dagegen nur für vollständige Körper (wie \(\R\)).

Wir werden im Laufe der Vorlesung immer wieder auf die Vollständigkeit zurückkommen, wenn wir uns wichtige Hilfsmittel der Analysis (wie Folgen und Reihen) erarbeitet haben. Schauen wir uns zunächst eine “kleine” Folgerung an. Zur Wiederholung, noch einmal unsere Definition der Vollständigkeit:

• Wir nennen einen geordneten Körper \((K, +, \cdot)\) vollständig, wenn für jede nach oben beschränkte Teilmenge \(M \subseteq K\) gilt: \(\mathrm{sup}(M) \in K.\)

Die Existenz eines Supremums für abgeschlossene Teilmengen reeller Zahlen ist damit schon durch das Axiom 3 gegeben. Es fehlt noch ein Beweis für die Eindeutigkeit von Suprema, sowie für die Existenz und Eindeutigkeit von Infima.

Da alle anderen Axiome auch für \(\Q\) gelten, können wir aus der Vollständigkeit der reellen Zahlen nur Folgerungen ziehen, die nicht für \(\Q\) gelten. Also z.B. die Existenz einer Zahl \(\sqrt{a} \in \R\), für die \((\sqrt{a})^2 = a\) gilt. Natürlich gibt es einzelne rationale Zahlen, für die das ebenfalls gilt, wie \(2 = \sqrt{4}\). Aber allgemein kann man die Existenz von Wurzeln nur für vollständige Körper zeigen.

Ganz analog lässt sich auch die Existenz von \(k\)-ten Wurzeln mit \(k \in \N\), also \(\sqrt[k]{a}\) für \(a > 0\), beweisen. Hierfür werden wir aber später noch einen anderen Beweis sehen.

Definition der natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen

Ausgestattet mit unserer Definition der reellen Zahlen können wir nun die natürlichen Zahlen und darauf aufbauend die ganzen und rationalen Zahlen jeweils als Teilmengen der reellen Zahlen definieren. Da wir Regeln wie \(x^2 > 0\) aus dem letzten Abschnitt für allgemeine reelle Zahlen bewiesen haben, gelten diese auch für bestimmte reelle Zahlen, wie zum Beispiel natürliche Zahlen. Wir werden also nun die einzelnen Zahlenmengen über die reellen Zahlen definieren.

Natürliche Zahlen

Wie Ihnen vielleicht aufgefallen ist, haben wir bisher nur zwei Zahlen in den reellen Zahlen wirklich klar festgelegt, nämlich \(0\) und \(1\) (und evtl. noch \(-1\) durch die Existenz des Inversen). Wissen wir also überhaupt, dass nach unseren bisherigen Axiomen \(2 \in \R\) sein muss, oder \(1 + 1 = 2\) gilt? Dies kann zumindest nicht aus den Körpereigenschaften folgen, da wir bereits in auto einen Körper gesehen haben, der nur aus \(\set{0,1}\) besteht und für den \(1 + 1 = 0\) gilt. Genau wie die Symbole \(0\) und \(1\), die wir für das Null- und Einselement gewählt haben, ist \(2\) lediglich ein Symbol des Dezimalsystems. Und dieses Symbol ist auch nicht überall gleich. Ein Mensch aus Japan oder China würde vielleicht eher 一 statt \(1\) verwenden. Die \(2\) ist ein gewähltes Zeichen, wenn wir (im Dezimalsystem) nicht umständlich \(1 + 1\) sagen wollen. Im Japanischen/Chinesischen sieht man das dem gewählten Zeichen (二) sogar an, genauso wie in vielen anderen Schriftsystemen (z.B. die römische Zahl II). Als Informatiker fällt uns natürlich sofort eine weitere Art ein, \(1 + 1\) darzustellen, nämlich im Binärsystem als \(10\). Wir werden uns später noch mit verschiedenen Stellenwertsystemen beschäftigen, aber bis hierhin sollte Ihnen klar geworden sein, dass die Zahlzeichen (\(2,3,4,\ldots\)) natürlich nicht aus unseren Axiomen folgen.

Die natürlichen Zahlen definieren wir in zwei Schritten. Wir beginnen mit der induktiven Menge

Auf den ersten Blick sieht es so aus, als wären wir hier schon fertig mit der Definition von \(\N\), aber nach kurzer Überlegung fällt auf, dass auch andere Mengen existieren, wie \(M = \set{1,1.5,2,2.5,3,3.5,\ldots}\), auf die die Definition zutrifft. Sogar \(\R\) selbst ist eine induktive Menge. Allerdings enthalten alle diese Mengen die natürlichen Zahlen, also \(\N \subseteq M\). \(\N\) ist also die ‘kleinste’ induktive Menge. Nun ist es aber nicht so einfach definierbar, was ‘kleinste’ hier bedeutet, da \(\N\) bekanntlich aus unendlich vielen Elementen besteht. Daher benutzen wir stattdessen den \(\cap\)-Operator aus auto:

Anders gesagt besteht \(\N\) aus allen Elementen, die in jeder induktiven Menge enthalten sind. Wenn wir uns nun noch, wie oben bereits beschrieben, unsere typischen Zahlsymbole definieren (\(2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1, 4:= 3 + 1, \ldots\)) wird klar, dass demnach \(\N = \set{1,2,3,4,\ldots}\) gilt. Es lässt sich ebenfalls sofort zeigen, dass \(\N\) selbst eine induktive Menge ist. Wie bereits gesagt, gelten die meisten Regeln, die für Elemente von \(\R\) gelten, auch für natürliche Zahlen, da diese per Definition auch reell sind.

Falls Sie im Kapitel der Beweistechniken unseren Exkurs in die geraden und ungeraden Zahlen gelesen haben, wird Ihnen hier auffallen, dass diese Eigenschaften, besonders (b), dort wichtig waren.

Zuletzt beweisen wir noch einen nützlichen kleinen Satz.

Die natürliche Zahlen bilden die Basis für die folgenden Zahlenmengen.

Ganze Zahlen

Also anders gesagt: \(\Z = \set{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \ldots}\). Man kann zeigen, dass die ganzen Zahlen die ersten vier Körpereigenschaften erfüllen und damit mit der Addition eine Gruppe bilden. Die Eigenschaften (b) und (d) von auto gelten auch wenn man im Satz \(\N\) durch \(\Z\) ersetzt. Außerdem gilt folgender nützlicher Satz:

Mit dem auto können wir den Modulo-Operator einführen, die Basis für die Arbeit mit sogenannten Restklassen, die Ihnen noch häufiger im Studium begegnen werden:

Rationale Zahlen

Wir wollen hier auch schon zwei Beispiele für Zahlen geben, die irrational sind. Genau genommen zeigen wir hier nur, dass sie nicht rational sind. Es fehlt noch der Beweis, dass es sie wirklich in \(\R\) gibt. Für Quadratwurzeln wurde dies bereits in auto gezeigt.

Als Erstes zeigen wir das typische Lehrbuchbeispiel für eine irrationale Zahl: \(\sqrt{2}\). Im Anschluss führen wir einen geometrischen Beweis für die Irrationalität des sogeannten goldenen Schnitts.

Beweis Wurzel aus 2 ist nicht rational

Der Beweis wird klassisch über einen Widerspruchsbeweis geführt. Wir nehmen also an, es gäbe eine Lösung von \(x^2 = 2\) mit \(x \in \Q\), also \(x = p/q\) für ein \(p \in \Z\) und \(q \in \N\).

Wir nehmen außerdem an, dass \(p\) und \(q\) teilerfremd sind (also x maximal gekürzt ist). Das ist immer möglich (überlegen Sie, warum?).

Daraus folgt

\[2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2 \Leftrightarrow p^2 = 2q^2.\]

Aus unserem Exkurs der Beweistechniken wissen wir, dass \(2q^2\) eine gerade Zahl ist. Also muss \(p^2\) ebenfalls gerade sein. Ebenfalls aus dem Exkurs (Satz E1.3) wissen wir, dass dann \(p\) ebenfalls gerade ist.

Wenn p aber gerade ist, gibt es ein \(k \in \Z\) mit \(p = 2k\). Daraus folgt

\[p^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2q^2 \Leftrightarrow 2k^2 = q^2.\]

Was bedeutet, dass \(q^2\) und somit auch \(q\) gerade sind. Wenn aber sowohl \(p\) als auch \(q\) gerade sind, steht dass im Widerspruch zur Voraussetzung, dass \(p\) und \(q\) teilerfremd sind (↯). Daher kann keine rationale Zahl exisitieren, die \(x^2 = 2\) löst, oder anders gesagt, wenn es eine reelle Lösung gibt, dann ist sie irrational.

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Beweis goldener Schnitt ist nicht rational

Diesen Beweis führen wir hier einmal ganz anders, ähnlich wie ihn die alten Griechen geführt hätten. Damals wurden alle Beweise geometrisch geführt, also über Längen von Strecken, Winkel, Flächen, usw. Dadurch sind diese Beweise manchmal oft sehr anschaulich.

Der goldene Schnitt ist das Verhältnis (der Bruch) \(q\) aus zwei Zahlen \(a,b\) für die gilt:

\[q = \frac{a}{b} = \frac{a + b}{a}\]

Durch ein wenig Umformen lässt sich diese Gleichung lösen:

\[\begin{align*} q &= \frac{a + b}{a} = 1 + \frac{1}{q} \\ \Leftrightarrow 0 &= q^2 - q - 1 \\ \Leftrightarrow q &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\end{align*}\]

Wir könnten analog zum Beiweis von \(\sqrt{2}\) zeigen, dass \(\sqrt{5}\) irrational ist, aber das wäre nicht die Art und Weise, wie die alten Griechen den Beweis geführt hätten. Dort hätte man sich den goldenen Schnitt beispielsweise durch ein regelmäßiges Fünfeck visualisiert:

Verbindet man hier die Eckpunkte miteinander, ergibt sich in der Mitte der Figur erneut ein regelmäßiges Fünfeck. Wenn Sie ihre Schulgeometriekenntnisse nutzen, können Sie mit dem Strahlensatz zeigen, dass das Verhältnis den beiden farbigen Seitenlängen genau dem goldenen Schnitt entspricht.

Die Frage nach der Rationalität würden die alten Griechen folgendermaßen stellen: Gibt es einen Stab einer bestimmten Länge \(x\), der genau genau \(n\)-mal in die große Fünfeckseite passt und genau \(m\)-mal in die kleine (man sagt auch ‘mit dem Stab kann die Länge der Seiten abgetragen werden’)? Dabei müssen \(n\) und \(m\) natürliche Zahlen sein müssen und für das Verhältnis ergäbe sich eine rationale Zahl:

\[q = \frac{a}{b} = \frac{nx}{mx} = \frac{n}{m} \in \Q\]

Doch wie prüft man das geometrisch? Die Idee war damals folgende: Wenn man zwei natürliche Zahlen, z.B. \(6, 2\) betrachtet, dann sind diese entweder gleich groß oder unterschiedlich groß. Im zweiten Fall können wir die Differenz aus der größeren und der kleineren Zahl bilden: \[6-2 = 4\] und dies ergibt wieder eine natürlich Zahl. Von der Differenz und den beiden ursprünglichen Zahlen wählen wir die beiden kleinsten aus (\(2,4\)) und bilden erneut die Differenz aus der größeren und der kleineren: \[4 - 2 = 2\]

Dieser Algorithmus führt auf immer kleinere Zahlenpaare und muss früher oder später auf zwei gleiche natürliche Zahlen führen (spätestens bei \((1,1)\)). Die alten Griechen würden also nach und nach die kleinere Länge von der Größeren abziehen, bis sich zwei gleiche Längen ergäben. Der Algorithmus nennt sich übrigens Euklidischer Algorithmus und führt auf den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen.

Führen wir dies für das Fünfeck aus:

Nach zwei Schritten landen wir wieder in der Ausgangssituation, nur mit einem kleineren Fünfeck. Man kann sich leicht klar machen, dass auch die weiteren Schritte immer wieder auf kleinere Fünfecke führen würden und man somit niemals auf zwei gleiche Längen kommt. Dies zeigt, dass wir keinen Stab finden können, mit dem wir beide Längen abtragen können, oder mit unseren heutigen Worten: das Verhältnis der beiden Zahlen kann niemals aus einem Bruch natürlicher Zahlen bestehen. Der goldene Schnitt ist also nicht rational.

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Abzählbarkeit von Zahlenmengen

In diesem Kapitel werden wir uns mit der Mächtigkeit von Zahlenmengen beschäftigen. Wir werden den Begriff der Mächtigkeit im Verlauf der Vorlesung nicht wieder benötigen, aber trotzdem gibt gibt es uns ein paar nützliche Einsichten über die verschiedenen Zahlenmengen. Daher werden wir hier ausnahmsweise keine strikten Beweise führen und eher auf sehr anschauliche Begründungen zurückgreifen.

Die Mächtigkeit einer Menge \(M\) schreibt man als \(|M|\) und für abzählbare Mengen entspricht diese der Anzahl der Elemente. Für Mengen mit unendlich vielen Elementen vergleicht man die Mächtigkeit der Menge mit der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen \(\N\). Allerdings ist auch hier auf den ersten Blick noch nicht klar, wie dieser Vergleich funktioniert, da es unendlich viele Elemente in \(\N\) gibt. Die Lösung ist eine Zuordnung: Wir bestimmen also für jedes Element \(m\) aus der zu vergleichenden Menge \(M\) eine zugeordnete natürliche Zahle \(n \in \N\). Können wir eine Zuordnung so angeben, bei der jedem \(m \in M\) ein unterschiedliches \(n \in \N\) zugeordnet wird, dann nennen wir die Mächtigkeit der Menge \(M\) gleichmächtig zu \(\N\).

Wir nennen außerdem Mengen, die gleichmächtig zu \(\N\) sind abzählbar unendlich, weil die Menge unendlich viele Elemente enthält, aber wir diese nacheinander (mit unendlich viel Zeit) aufzählen könnten: dies ist das 1. Element, dies ist das 2., dies ist das 3. usw.. Manchmal hört man auch die Aussage, dass so eine abzählbar unendliche Menge “gleich viele” Elemente wie \(\N\) besitzt. Allerdings versagt die Vorstellung von “gleich viel” bei unendlichen Anzahlen, wodurch diese Aussage immer sehr unintuitiv wirkt, wie wir noch sehen werden. Mengen, für die man zeigen kann, dass keine solche Zuordnung existiert, nennt man überabzählbar unendlich.

Betrachten wir zwei Beispiele:

1. Die Menge der geraden Zahlen \[ G = \set{2k \with\ k \in \N}\]

   Es ist schnell klar, dass es unendlich viele gerade Zahlen gibt. Vom Gefühl her würden wir denken, es gibt halb so viele gerade Zahlen wie natürliche Zahlen, weil jede zweite natürliche Zahl gerade ist. Mit dem Begriff der Mächtigkeit ist \(G\) allerdings gleich mächtig zu \(\N\) ist (abzählbar unendlich), da wir jedem \(k \in \N\) genau ein \(g \in G\) per \(g = 2k\) zuordnen können. Hier wird klar, dass man gleiche Mächtigkeit nicht mit “gleich viel” übersetzen sollte.

2. Die Menge der Ganzen Zahlen \[\Z = \set{\ldots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots}\]

   Auch hier ist klar, dass es unendlich viele ganze Zahlen gibt. Vom Gefühl her würden wir denken, es gibt mindestens doppelt so viele gerade Zahlen wie natürliche Zahlen, da es für jedes \(n \in \N\) sowohl \(n\) als auch \(-n\) in \(\Z\) gibt (und zusätzlich noch das Nullelement). Allerdings können wir wie folgt zuordnen: \((1 \rightarrow 0)\), \((2 \rightarrow 1)\), \((3 \rightarrow -1)\), \((4 \rightarrow 2)\), \((5 \rightarrow -2)\), \((6 \rightarrow 3)\), \((7 \rightarrow -3)\), \((8 \rightarrow 4)\), u.s.w. Also jeder gerade natürlichen Zahl nacheinander die positiven ganzen Zahlen und jeder ungeraden natürlichen Zahl \(>1\) die negativen (und \(1 \rightarrow 0\)). Damit gibt es also eine Zuordnung von \(\N\) zu \(\Z\), die alle ganzen Zahlen abdeckt und somit sind \(\Z\) und \(\N\) gleichmächtig. Auch hier klingt die Aussage \(\Z\) ist abzählbar unendlich akzeptierbarer als “es gibt gleich viele ganze und natürliche Zahlen”.

Interessant wird es, wenn wir die “nächstgrößere” Zahlenmenge betrachten: die rationalen Zahlen \(\Q\). Also alle Zahlen, die sich als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben lassen. Hier gilt sogar, dass es unendlich viele rationale Zahlen alleine zwischen \(0\) und \(1\) gibt, z.B.

\[\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \ldots\]

Aber auch hier lässt sich zeigen, dass eine Zuordnung aus den natürlichen Zahlen in die rationalen Zahlen existiert, die alle rationalen Zahlen abdeckt. Dafür ordnet man die rationalen Zahlen in einem Gitter an: die Spalte bestimmt den Zähler und die Reihe den Nenner:

\[\begin{array}{c|ccccccccccccc} && 1 & & 2 & & 3 & & 4 &\\ \hline \\[-2mm] 1 && \frac{1}{1} & \rightarrow & \frac{2}{1} & & \frac{3}{1} & \rightarrow & \frac{4}{1} & \cdots \\ && & \swarrow & & \nearrow & & \swarrow \\ 2 && \frac{1}{2} & & \frac{2}{2} & & \frac{3}{2} & & \frac{4}{2} & \cdots \\ &&\downarrow & \nearrow & & \swarrow \\ 3 && \frac{1}{3} & & \frac{2}{3} & & \frac{3}{3} & & \frac{4}{3} & \cdots \\ & && \swarrow \\ 4 && \frac{1}{4} & & \frac{2}{4} & & \frac{3}{4} & & \frac{4}{4} & \cdots \\ && \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & \end{array}\]

Die Pfeilrichtung gibt dabei die Reihenfolge der Nummerierung an. Es ist leicht erkennbar, dass man dies bis zu jeder (positiven) rationalen Zahl fortführen könnte. Anschließend verwendet man wieder den gleichen Trick, wie bei den ganzen Zahlen: die \(0\) ordnet man der \(1\) zu und anschließend nimmt man abwechselnd immer den positiven und dann den negativen Eintrag des Tabellenwerts in Pfeilrichtung. Somit kann man also auch für \(\Q\) die Abzählbarkeit zeigen. Diesen graphischen Beweis nennt man auch “Cantors erstes Diagonalargument” nach Gregor Cantor, einem Mathematiker aus dem 19. Jahrhundert, der sich viel mit den Zahlenmengen und Unendlichkeiten beschäftigt hat.

Auf ihn geht auch ein sehr anschaulicher Beweis zurück, der zeigt, warum die reellen Zahlen \(\R\) nicht abzählbar (überabzählbar) sind. Dieser ist “Cantors zweites Diagonalargument”. Um den Beweis zu verstehen, benötigen wir die Dezimaldarstellung reeller Zahlen. Diese können wir erst in Kapitel 3 einführen, da wir hierzu ein Grundverständnis von unendlichen Summen benötigen. Aber Sie kennen natürlich bereits aus der Schule die Dezimalschreibweise reeller Zahlen:

• \(7/5 = 1.4\)
• \(1/1000 = 0.001\)
• \(1/3 = 0.33333333\ldots = 0.\overline{3}\)
• \(1/7 = 0.142857142857142857142857142857\ldots = 0.\overline{142857}\)
• \(\pi = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944\ldots\)

Dabei gibt es (wie wir später noch beweisen werden) endliche Dezimalzahlen, bei denen ab einer gewissen Dezimalstelle nur noch Nullen folgen (wie \(7/5\)), periodisch unendliche Dezimalzahlen, bei denen sich eine bestimmte Zahlenfolge unendlich oft wiederholt (wie \(1/7\)) und nicht-periodische unendliche Dezimalzahlen, bei denen keines der beiden ersten Kriterien zutrifft. Auf rationale Zahlen trifft immer der erste oder der zweite Fall zu. Alle irrationale Zahlen, also reelle Zahlen, die nicht rational sind, fallen in die dritte Kategorie.

Jetzt könnten wir uns zunächst fragen, wie “häufig” irrationale Zahlen unter den reellen Zahlen sind. Also etwas unmathematisch formuliert: wenn ich zufällig eine Zahl unter allen reellen auswählen würde, wie wahrscheinlich ist es, dass diese irrational ist? Da man in der Regel nur wenige Beispiele für irrationale Zahlen in der Schule (und selbst im Studium) kennenlernt und wir wissen, dass unendlich viele rationale Zahlen auf jeden noch so kleinen Teilabschnitt der Zahlengerade passen, liegt die Vermutung nahe, dass die irrationalen Zahlen eher die Ausnahme unter den reellen Zahlen sind.

Betrachten wir allerdings die unterschiedlichen Fälle reeller Dezimalzahlen wird schnell klar, dass rationale Zahlen eher die Ausnahme sind: Rationale Zahlen benötigen eine ganz bestimmte Struktur in der Dezimaldarstellung, wohingegen die irrationalen komplett chaotisch sein dürfen. Stellt man sich vor, man würfelt die einzelnen Dezimalstellen jeweils mit einem Zehnerwürfel (0–9), so wird offensichtlich, dass es viel wahrscheinlicher ist, dabei keine sich unendlich oft wiederholende Ziffernfolge zu würfeln, sondern eine eher chaotische Folge.

Es ist gar nicht so einfach zu zeigen, dass eine Zahl nicht rational ist. Beipielsweise existieren Beweise dafür, dass

• \(\sqrt{\frac{m + 1}{m}}, \ \forall m \in \N\)
• die eulersche Zahl \(e\)
• die Kreizahl \(\pi\)
• \(e^\pi\)
• \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\)

irrational sind. Aber man konnte bisher nicht beweisen, dass auch

• \(\pi + e\)
• \(\pi - e\)
• \(\pi e\)
• \(\pi/e\)

irrational sind, auch wenn dies vermutet wird. Es ist bisher sogar unklar, ob \((\pi^\pi)^\pi\) eine natürliche Zahl ist oder nicht, auch wenn man vermuten würde, dass das sehr offensichtlich nicht sein kann.

Wir haben also ein erstes Gefühl dafür bekommen, dass es deutlich mehr irrationale als rationale Zahlen gibt. Kommen wir also nun zur Mächtigkeit der reellen Zahlen \(\R\) und Cantors zweitem Diagonalargument. Hierbei wird die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) anschaulich bewiesen. Die Argumentation erfolgt als ein Widerspruchsbeweis: Wir nehmen also an, es gäbe eine Zuordnung von \(\N\) zu allen reellen Zahlen zwischen \(0\) und \(1\). Dann könnten wir deren Dezimaldarstellungen der Reihe nach hinschreiben. In dieser unendlich langen Aufzählung kämen alle reellen Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) vor. Der Widerspruch kommt dadurch zustande, dass Cantor zeigt, wie man aus dieser Aufzählung eine neue reelle Zahl \(z\) zwischen \(0\) und \(1\) konstruieren kann, die nicht in der Aufzählung vorkommt. Dabei geht er wie folgt vor:

1. Betrachte die erste Dezimalstelle der ersten Zahl der Aufzählung
   • Ist die Ziffer eine 9, setze die erste Dezimalstelle unserer neuen Zahl \(z\) auf \(8\).
   • Ansonsten setze die erste Dezimalstelle von \(z\) auf diese Ziffer plus 1.
2. Wiederhole das Vorgehen für die zweite Dezimalstelle der zweiten Zahl in der Aufzählung und setze damit die zweite Dezimalstelle von \(z\).
3. Wiederhole das Vorgehen für die dritte Dezimalstelle der dritten Zahl in der Aufzählung und setze damit die dritte Dezimalstelle von \(z\).
4. …

Die so konstruierte neue Zahl \(z\) kann nicht gleich \(x_1\) sein, da deren 1. Dezimalstelle per Konstruktion unterschiedlich zu der von \(z\) ist. Sie kann aber auch nicht gleich \(x_2\) sein, da die 2. Dezimalstelle verschieden ist. Allgemein kann sie nicht gleich \(x_n\) sein, weil sie sich in der \(n\)-ten Dezimalstelle unterscheidet.

Somit ist \(z\) ungleich aller reellen Zahlen in der Aufzählung. \(z\), liegt aber ebenfalls zwischen \(0\) und \(1\). Dies steht im Widerspruch zu der Annahme, dass die Reihe alle reellen Zahlen enthält. Damit muss die Annahme, dass so eine Aufzählung existiert, falsch sein. Die reellen Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) und somit natürlich auch \(\R\) im allgemeinen ist damit überabzählbar unendlich. Wie schon erwähnt, ist dies an dieser Stelle eigentlich noch kein gültiger Beweis, da wir die Grundlage (die Dezimaldarstellung reeller Zahlen) erst später einführen werden.

Summen, Produkte und Kombinatorik

Zur vereinfachten Schreibweise führen wir folgende Definition für Summen und Produkte ein:

Bisher sind wir noch größtenteils ohne Potenzen ausgekommen, bis auf ein vereinzeltes \(x^2\). Mit den natürlichen und ganzen Zahlen können wir endlich die ganzzahligen Potenzen definieren.

Damit ergeben sich die folgenden Regeln für das Rechnen mit Potenzen, die wir hier nicht beweisen werden. Sie ergeben sich alle direkt aus der Definition.

Es gibt noch ein weiteres spezielles Produkt, die sogenannte Fakultät, die wir im nächsten Kapitel sehr häufig nutzen werden.

Das vorherige Beispiel zeigt die Bedeutung des Binomialkoeffizienten in der abzählenden Kombinatorik, bei der es darum geht, die Anzahl günstiger Ergebnisse aus einer endlichen Menge möglicher Ergebnisse zu bestimmen. Abzählende Kombinatorik ist ein Vorläufer der Wahrscheinlichkeitsrechnung und wurde im 17 Jahrhundert entwickelt, um den Ausgang von Glücksspielen vorherzusagen. Der folgende Satz fasst einige Ergebnisse zusammen.

Für Binomialkoeffizienten gilt eine nützliche Gleichheit:

Anschaulich ergibt sich mit dem obigen Satz das sogenannte Pascalsche Dreieck nach Blaise Pascal:

\[\begin{array}{ccccccccc} & & & & \displaystyle{0 \choose 0} & & & &\\ & & & \displaystyle{1 \choose 0}& & \displaystyle{1 \choose 1}& & &\\ & & \displaystyle{2 \choose 0}& & \displaystyle{2 \choose 1} & &\displaystyle{2 \choose 2} & &\\ &\displaystyle{3 \choose 0} & &\displaystyle{3 \choose 1} & & \displaystyle{3 \choose 2} & & \displaystyle{3 \choose 3}&\\ \displaystyle{4 \choose 0} & &\displaystyle{4 \choose 1} & & \displaystyle{4 \choose 2} & & \displaystyle{4 \choose 3}& & \displaystyle{4 \choose 4} \end{array}\]

Für den rechten und linken Schenkel des Dreiecks ist jeder Binomialkoeffizient jeweils \(1\) und jeder Eintrag in der Mitte des Dreiecks ergibt sich aus der Summe der beiden darüber liegenden. Somit ergeben sich insgesamt die Einträge:

\[\begin{array}{ccccccccc} & & & & 1 & & & &\\ & & & 1& & 1& & &\\ & & 1& & 2 & &1 & &\\ &1 & &3 & & 3 & & 1&\\ 1 & &4 & & 6 & & 4& & 1 \end{array}\]

Das Dreieck lässt sich hiermit sehr einfach nach unten für höhere Binomialkoeffizienten erweitern. Wenn man ein kleines schwarzes Dreieck für jeden ungeraden Eintrag im Pascalschen Dreieck zeichnet, ergibt sich eine Struktur, die auch als Sierpinski-Dreieck bekannt ist, hier gezeigt bis \(n = 15\):

Mithilfe von Binomialkoeffizienten können wir eine Verallgemeinerung der binomischen Formel \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) beweisen, die wir im Laufe der Vorlesung häufiger benötigen werden:

Damit kann man die Vorfaktoren einer allgemeinen binomischen Formel einfach aus dem Pascalschen Dreieck bestimmen. Für \(n = 4\) ist die Zeile im Dreieck: \((1,4,6,4,1)\), damit ergibt sich also: \((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\).

Es folgen zwei nützliche Ungleichungen, die wir häufig nutzen werden, wenn wir es mit Potenzen zu tun haben, bei denen der Exponent variabel ist:

Sie können zur Übung einmal versuchen, die Bernoullische Ungleichung für \(x \geq 0\) mit dem Binomischen Lehrsatz zu beweisen. Die folgende zweite nützliche Abschätzung folgt ebenfalls direkt aus dem Binomischen Lehrsatz. Den Beweis überlassen wir Ihnen zur Übung.

Komplexe Zahlen

Zuletzt wollen wir noch eine Zahlenmenge vorstellen, die man in der Regel noch nicht aus der Schule kennt. Die komplexen Zahlen \(\C\) sind eine sehr nützliche Erweiterung der reellen Zahlen (also \(\R \subset \C\)), die in vielen Bereichen Anwendung findet, wie zum Beispiel in der Signalverarbeitung, der Computergraphik oder der Physik. Außerdem werden wir sehen, dass manche Gesetzmäßigkeiten in der Analysis erst ihre volle Aussagekraft erhalten, wenn wir sie im komplexen Zahlenbereich betrachten. Beginnen wir also mit der Definition von \(\C\).

Da wir bereits gezeigt haben, dass das Nullelement, Einselement, negative Element und inverse Element in jedem Körper eindeutig sind, genügt es diese anzugeben und Sie müssen nun nur noch die Körpereigenschaften von \(\C\) mithilfe der Körpereigenschaften von \(\R\) nachweisen.

Häufig sieht man auch die Schreibweise \((a,b) = a + \i b\), wobei \(\i\) die sogenannte imaginäre Einheit ist und als Lösung von \(x^2 = -1\) definiert wird. Damit ergeben sich die oben angegebenen Definitionen für Addition und Multiplikation auf ganz natürliche Weise:

\[ \begin{align*} (a_1, b_1) + (a_2, b_2) &= a_1 + \i b_1 + a_2 + \i b_2 \\ &= (a_1 + a_2) + \i (b_1 + b_2) \\ &= (a_1 + a_2, b_1 + b_2)\\[1em] (a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) &= (a_1 + \i b_1)(a_2 + \i b_2) \\ &= a_1 a_2 + \i a_1 b_2 + \i a_2 b_1 + \i^2 b_1 b_2 \\ &= a_1 a_2 - b_1 b_2 + \i (a_1 b_2 + a_2 b_1)\\ &= (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1) \end{align*} \]

Beide Schreibweisen haben ihre Vorteile: Mit der imaginären Einheit lässt sich leichter rechnen, da sich hier die Multiplikation aus der reellen Multiplikation ergibt. Die \((a,b)\)-Schreibweise lässt uns die komplexen Zahlen als zweidimensionale Vektoren interpretieren, die sich besonders gut zur Visualisierung komplexer Zahlen eignet. Dabei nutzen wir die zweidimensionale Ebene: Auf der horizontalen Achse, die auch als reelle Achse bezeichnet wird, geben wir den Realteil der komplexen Zahl an und auf der vertikalen Achse, welche auch imaginäre Achse genannt wird, geben wir ihren Imaginärteil an. Damit können wir komplexe Zahlen \(z\) als Punkte in der sogenannten komplexen Ebene visualisieren und die Addition wird hierbei zu einer Vektoraddition. Probieren Sie dies gerne in den beiden folgenden Demos aus.

Wir haben bereits angegeben, dass \((\C,+,\cdot)\) ein Körper ist. Aber lässt sich dieser Körper auch ordnen und damit alle Folgerungen aus den Ordnungseigenschaften auf \(\C\) übertragen?

Damit können wir zwei komplexe Zahlen also im Allgemeinen nicht mit \(z_1 < z_2\) ordnen. Wie wir bereits bei der auto erwähnt haben, lässt sich aber auch auf manchen ungeordneten Körpern eine Metrik definieren, mit der wir den Abstand zwischen zwei komplexen Zahlen bestimmen können. Dazu führen wir die komplexe Konjugation ein, mit deren Hilfe wir den Betrag einer komplexen Zahl definieren:

Anders als wir es von reellen Zahlen gewöhnt sind, gilt hier bei einem Imaginärteil \(b \neq 0\): \[z \cdot z = z^2 = (a,b)^2 = a^2 + 2abi -b^2 \neq a^2 + b^2 = |z|^2,\] also \(z^2 \neq |z|^2\). Insbesondere ist \(z^2\) im Allgemeinen komplex.

Der Betrag einer komplexen Zahl ist stets reell und somit lassen sich Beträge komplexer Zahle ordnen. Für den weiteren Verlauf der Vorlesung haben wir uns, anders als viele Lehrbücher, dagegen entschieden, alle Sätze und Definitionen direkt für komplexe Zahlen einzuführen und anschließend den reellen Spezialfall zu betrachten. Wir werden umgekehrt für den Großteil der Vorlesung mit reellen Zahlen arbeiten und nur ab und zu auf den allgemeineren komplexen Fall hinweisen. Hier hilft uns der Betrag, denn wenn alle Größenvergleiche in Sätzen und Definitionen nur in Verbindung mit Beträgen vorkommen, lassen sich die Schlussfolgerungen meist sehr einfach auf \(\C\) erweitern.

Eine besondere Bedeutung haben komplexe Zahlen mit \(|z| = 1\). Stellen wir diese auf der komplexen Ebene dar, liegen sie auf einem Einheitskreis um den Ursprung. Wenn wir zwei komplexe Zahlen \(z_1, z_2\) mit \(|z_1| = |z_2| = 1\) multiplizieren, ergibt sich für das Produkt:

\[|z_1\cdot z_2|^2 = (z_1\cdot z_2) \overline{(z_1\cdot z_2)} = (z_1\cdot z_2) (\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}) = (z_1\cdot \overline{z_1}) (z_2 \cdot \overline{z_2}) = |z_1|^2|z_2|^2 = 1.\]

Das Produkt liegt also ebenfalls auf dem Einheitskreis. In der folgenden Demo können Sie mit solchen Produkten experimentieren und werden dabei eventuell etwas feststellen:

Das komplexe Produkt scheint einer Drehung zu entsprechen, wobei der Winkel zwischen den beiden Faktoren mit der reellen Achse addiert wird. Beispielsweise hat \(i\) einen Winkel von \(90^\circ\) zur reellen Achse, \(i^2 = -1\) einen Winkel von \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\) und \((-1)i = -i\) einen Winkel von \(180^\circ + 90^\circ = 270^\circ\). Auch für andere Prdukte und Winkel sieht es optisch so aus, als würde das komplexe Produkt einer Drehung entsprechen. Dies ist natürlich noch kein Beweis, wir werden aber im Laufe der Veranstaltung noch zeigen, warum dies immer gilt.

Betrachten wir eine allgemeine Komplexe Zahl \(z = a + ib\) mit \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = r\), so ergibt sich

\[\begin{align*}z &= a + ib = r\left(\frac{a}{r} + i\frac{b}{r}\right) = r(\hat{a} + i\hat{b}) = r\hat{z}\\ |\hat{z}|^2 &= \left|\frac{a}{r} + i\frac{b}{r}\right|^2 = \frac{a^2 + b^2}{r^2} = 1\end{align*}\]

Wir können also eine beliebige komplexe Zahl über ihren Betrag (Abstand zum Ursprung) und eine andere komplexe Zahl \(\hat{z}\), die in der komplexen Ebene auf dem Einheitskreis liegt, darstellen. Für ein allgemeines Produkt komplexer Zahlen \(z_1 = r_1\hat{z}_1, z_2 =r_2\hat{z}_2\) ergibt sich:

\[\begin{align*}z_1z_2 &= r_1\hat{z}_1r_2\hat{z}_2 = (r_1r_2)(\hat{z}_1\hat{z}_2)\\ |z_1z_2| &= r_1r_2\underbrace{|\hat{z}_1\hat{z}_2|}_{=1} = r_1r_2 \end{align*}\]

Wir können also beliebige Produkte komplexer Zahlen auf Einheitskreisprodukte zurückführen. Der Betrag des Produkts entspricht dabei dem Produkt der Einzelbeträge. Außerdem addiert sich der Winkel der Faktoren zum Gesamtwinkel des Produkts. Letzteres können wir hier noch nicht beweisen, holen dies aber später in Kapitel 4 nach.

Folgen & Reihen

Viele Verfahren zur Lösung realer Probleme sind sogenannte iterative Algorithmen. Dabei startet man mit einem groben Schätzwert für die Lösung und berechnet darauf aufbauend eine zweite, (im Idealfall) bessere Schätzung. Dieses Vorgehen wiederholt (iteriert) man so lange, bis man schließlich bei einer zufriedenstellend genauen Lösung ankommt. Einfache Beispiele sind die Berechnungen beliebig genauer Lösungen für Wurzeln, Logarithmen, allgemeine Potenzen (Exponent ist keine ganze Zahl), oder von Zahlen wie \(\pi\) oder \(e\). Wie können wir aber zeigen, dass ein solcher iterativer Ansatz auch wirklich zur gewünschten Lösung führt? Dem mathematischen Konzept hinter dieser Frage, dem sogenannten Grenzwert von Folgen und Reihen, werden wir uns in diesem Kapitel widmen. Folgen, Reihen und deren Grenzwerte sind eine weitere wichtige Grundlage für alle nachfolgenden Kapitel und werden Ihnen auch in anderen Vorlesungen begegnen.

Folgen und Grenzwerte

Um eine bestimmte Folge zu definieren, geben wir eine Vorschrift zur Berechnung der Folgenglieder an.

Eine besondere Art von Folgen sind die rekursiven Folgen, bei denen eine bestimmte Anzahl erster Folgenglieder \(a_1, a_2, \ldots, a_h\) angegeben werden und sich jedes weitere Folgenglied \(a_n\) mit \(n > h\) aus den Gliedern \(a_{n-1}\) bis \(a_{n - h}\) bestimmen lässt.

Im Zusammenhang mit Folgen werden wir häufiger von dem Begriff des Unendlichen \((\infty)\) Gebrauch machen. Dieser wird nun definiert.

Wichtig zu betonen ist, dass \(\infty\) kein Element von \(\R\) ist. Mit \(\pm \infty\) kann also auch nicht wie mit gewöhnlichen reellen Zahlen gerechnet werden. Wenn wir also schreiben “\(\ldots = \infty\)”, dann ist die linke Seite der Gleichung damit nicht reell. Wenn wir in Sätzen fordern, dass eine Lösung für eine bestimmte Gleichung existiert, so ist damit niemals die Lösung \(\pm \infty\) gemeint. Wir wollen mit “\(\ldots = \infty\)” oder auch “\(\ldots \to \infty\)” ausdrücken, dass der Term auf der linken Seite beliebig groß wird, wie in der folgenden Definition eines Grenzwerts für Folgen:

Dies ist unsere erste Quantorenaussage mit drei Quantoren hintereinander. Dabei geht man von links nach rechts vor: Für jedes \(\eps >0\) müssen wir zeigen, dass ein \(n_0 \in \N\) existiert, und dann muss ab diesem \(n_0\) für jedes Folgenglied die Eigenschaft \(\abs{a_n - a} < \eps\) gelten. Wir werden hier die Konvention nutzen, dass \(\eps > 0\) auch gleichzeitig \(\eps \in \R\) impliziert, sodass wir dies nicht mehr explizit mitschreiben werden. Die Bedingung für die Folgenkonvergenz nennt man auch das \(\eps\)-Kriterium der Konvergenz. Solche \(\eps\)-Kriterien werden ab sofort immer mal wieder auch in anderen Definitionen und Sätzen vorkommen.

Das Konvergenzkriterium können wir uns gut mit dem folgenden Bild veranschaulichen:

Es muss für eine konvergente Folge stets ein \(n_0\) geben, ab dem alle Folgenglieder in dem sogenannten \(\eps\)-Schlauch um den Grenzwert \(a\) liegen. Sie können die Konvergenzaussage auch gerne mit der folgenden Demo testen:

Den \(n_0\)-Teil der Konvergenzaussage (\(\exists n_0 \in \N \, \forall n \geq n_0\)) kann man auch so übersetzen, dass die Aussage \(\abs{a_n - a} < \eps\) nur für endlich viele Folgenglieder nicht gilt. Manchmal liest man auch die Formulierung, dass sie für “fast alle” Folgenglieder gilt.

Wie bereits im letzten Kapitel im Bezug auf Wurzeln, Nullelemente und Suprema, interessiert uns neben der Existenz eines Grenzwerts auch dessen Eindeutigkeit. Mit anderen Worten: Ist es möglich, dass eine Folge zwei verschiedene Grenzwerte hat?

Das \(\eps\)-Kriterium kann man auch negieren und erhält damit das Kriterium für Divergenz: Eine Folge divergiert, wenn für alle \(a \in \R\) gilt:

\[\exists \eps > 0 \; \forall n_0 \in \N \; \exists n \geq n_0 :\, \abs{a_n - a} \geq \eps\]

Um die Divergenz einer Folge zu beweisen, müssen wir also ein \(\eps\) finden (die Wahl darf von \(a\) abhängen), sodass wir für jede natürliche Zahl \(n_0\) eine größere natürliche Zahl \(n\) finden, für die \(\abs{a_n - a} \geq \eps\) gilt. Alternativ kann man auch einen Widerspruchsbeweis führen und das \(\eps\)-Kriterium für Konvergenz zu einem Widerspruch führen. Im Folgenden sehen wir uns diese Varianten an zwei einfachen Beispielen an:

Die Divergenz ist im ersten Fall relativ offensichtlich. Für solche Fälle können wir einen praktischen Zusammenhang zwischen Divergenz und Nullfolgen herstellen, der manche Divergenzbeweise vereinfacht:

Mit diesem Satz können wir in vielen Fällen die Nullfolgeneigenschaft der inversen Folge prüfen, um die Divergenz zu beweisen. In diesen Fällen werden die Folgenglieder einer divergenten Folge beliebig groß (positiv oder negativ). Solche Folgen bezeichnet man als bestimmt divergent.

Wir könnten zum Beispiel zeigen, dass \(a_n = n^2\) bestimmt gegen \(\infty\) divergiert. Betrachtet man die Menge der Folgenglieder ist diese Menge für \((a_n)\) unbeschränkt. Da die Beschränktheit der Menge der Folgenglieder eine wichtige Rolle spielt, überträgt man die Definition auf die Folge selbst:

Für beschränkte Folgen gibt es immer ein \(K \in \R\) mit \(\abs{a_n} \leq K\). Dies lässt sich einfach aus einer oberen Schranke \(K_1\) und einer unteren Schranke \(K_2\) bestimmen als \(K = \max\set{\abs{K_1}, \abs{_2}}\). Machen Sie sich dies selbst an einem Beispiel klar, denn wir werden die Ungleichung \(\abs{a_n} \leq K\) nun häufiger in den nächsten Sätzen für beschränkte Folgen benutzen. Starten wir mit einem ersten einfachen Zusammenhang zwischen Beschränktheit und Konvergenz:

Die Kontraposition dieses Satzes lautet: Jede unbeschränkte Folge ist nicht konvergent (also divergent). Wir können also auch einen Divergenzbeweis führen, indem wir die Unbeschränktheit der Folge zeigen.

Achtung: Die Umkehrung des Satzes gilt nicht, da z. B. \(a_n = (-1)^n\) beschränkt, aber nicht konvergent ist. Wir können aber trotzdem von Beschränktheit auf Konvergenz schließen, wenn wir noch eine weitere Eigenschaft der Folge zusätzlich fordern, die Monotonie:

Um die Monotonie für eine gegebene Folge zu zeigen, vergleicht man also die Größe von \(a_n\) mit der von \(a_{n+1}\). Bei Folgen mit positiven Folgengliedern ist es auch oft hilfreich, hierzu \(a_{n+1}/a_n\) zu betrachten. Für eine monoton wachsende Folge muss der Quotient beispielsweise größer als \(1\) sein und für eine monoton fallende kleiner als \(1\).

Stellen wir uns eine beschränkte und gleichzeitig monotone, z.B. wachsende, Folge vor. Hier ist anschaulich klar, dass sich die Folgenglieder einem Grenzwert nähern müssen, da sie immer weiter wachsen, aber das Supremum nicht überschreiten können. Dieser Zusammenhang wird im nachfolgenden Satz bewiesen.

Dies ist ein besonderes Konvergenzkriterium, da hier der Grenzwert nicht bekannt sein muss. Wir müssen lediglich eine obere (oder untere) Schranke finden (nicht zwangsweise das Supremum/Infimum) und die Monotonie nachweisen. Dies ist für manche Folgen einfacher, als den Grenzwert zu bestimmen.

Der Satz eignet sich ebenfalls, um die Konvergenz von rekursiven Folgen zu beweisen. Dies war mit den bisherigen Methoden eher schwierig zu zeigen, da wir für rekursive Folgen im Allgemeinen keine direkte Formel zur Berechnung des \(n\)-ten Folgenglieds zur Verfügung haben.

Wir betrachten die rekursive Folge \((x_n)\), die als babylonisches Wurzelziehen oder als Heron-Formel bekannt ist: \[ \begin{align*} x_1 &= a\\ x_{n + 1} &= \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right) \end{align*} \]

Diese Folge kann man geometrisch so interpretieren, dass wir ein Rechteck der Fläche \(a\) nach und nach in ein Quadrat gleichen Flächeninhalts umwandeln. Das Startrechteck hat dabei die Seitenlängen \(x_1 = a\) und \(y_1 = a/x_1 = 1\). Offensichtlich ist der Flächeninhalt \(a\). Im folgenden Bild ist das Rechteck für \(a = 7\) gezeigt:

Da es sich noch um kein Quadrat handelt, muss eine Seite des Rechtecks zu groß und die andere zu klein sein. Also bestimmen wir den Mittelwert aus den beiden Seitenlängen

\[x_2 = \frac{1}{2}\left(x_1 + \frac{a}{x_1}\right)\]

Im Beispiel von \(a = 7\) ergibt sich somit \(x_2 = 4\). Dies ist unsere zweite Schätzung für eine Rechteckseite. Damit der Flächeninhalt bei \(a = 7\) bleibt, muss die zweite Seite die Länge \(y_2 = a/x_2 = 7/4\) haben.

Wieder stellen wir fest, dass eine Seite größer als die andere ist. Daher bestimmen wir erneut den Mittelwert und erhalten damit \(x_3 = 23/8 = 2.875\) und \(y_3 = 56/23 \approx 2.435\).

Die Frage ist nun, ob diese Folge konvergiert. Intuitiv ist klar, dass der Grenzwert \(\sqrt{a}\) sein muss, da wir uns mit jeden Schritt stärker einem Quadrat annähern. Der Konvergenzbeweis erfolgt wieder über auto: Wir zeigen also, dass \((x_n)\) nach unten beschränkt und monoton fallend ist.

Beschränktheit:
Wir zeigen, dass \((x_n)\) nach unten beschränkt ist durch \(\sqrt{a}\), also \[x_n \geq \sqrt{a} \quad \Leftrightarrow \quad x_n^2 - a \geq 0,\] denn \(x_1=a \geq \sqrt{a}\) und für \(n>1\) \[x_n^2 - a = \frac{1}{4}\left(x_{n-1} + \frac{a}{x_{n-1}}\right)^2 - a = \frac{1}{4}\left(x_{n-1} - \frac{a}{x_{n-1}}\right)^2 \geq 0\]

Monotonie:
Die Folge \((x_n)\) ist monoton fallend, denn es gilt: \[x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right) - x_n = \frac{a}{2x_n} - \frac{x_n}{2} = \frac{a - x_n^2}{2x_n} \leq 0 .\]

Damit muss nach auto die Folge \((x_n)\) konvergieren. Wir werden nach dem nächsten Satz noch einmal auf diese Folge zurückkommen und beweisen, dass der Grenzwert \(\sqrt{a}\) ist, wie die geometrische Interpretation schon vermuten lässt.

Viele Folgen lassen sich aus anderen Folgen zusammensetzen. Betrachten wir z.B. die Folge \((a_n)\) mit \(a_n = \frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}\): Es liegt nahe, dass sich die Grenzwerte von \(b_n = 1\) und \(c_n = \frac{1}{n}\) addieren, und damit den Grenzwert \(a = 1 + 0 = 1\) für \((a_n)\) bilden. Solche Regeln für Kombinationen von Grenzwerten führen wir nun ein.

Achtung: Die Rechenregeln aus auto sind zwar einfach auch auf drei oder mehr Einzelfolgen übertragbar, aber nicht, wenn es sich um \(n\) Summanden/Faktoren handelt. Sonst könnte man z.B. folgern, dass \[a_n = 1 = n\cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n}+ \ldots + \frac{1}{n}\] gegen \(0\) konvergiert, was offensichtlich falsch ist. Genauso könnte man zu dem falschen Schluss kommen, dass die Folge \[e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(1 + \frac{1}{n}\right)\ldots\left(1 + \frac{1}{n}\right)\] gegen \(1\) konvergiert. Die Anzahl an Summanden/Faktoren muss für jedes Folgenglied identisch sein, damit auto angewendet werden kann.

Mit den Rechenregeln aus auto kann man viele Folgengrenzwerte bestimmen, indem man sie in Teilfolgen zerlegt. Aber der Satz ist noch deutlich vielseitiger. Wir können damit zeigen, dass zwei Grenzwerte identisch sind, denn wenn \[\liminf{n}(a_n - b_n) = 0\] gilt und sowohl \((a_n)\) als auch \((b_n)\) konvergieren, folgt aus Satzteil (a), dass \[\liminf{n}a_n = \liminf{n}b_n .\]

Darüber hinaus lassen sich auch Grenzwerte rekursiver Folgen mit auto bestimmen, was mit unseren bisherigen Sätzen eher schwierig war. Für konvergente rekursive Folgen können wir ausnutzen, dass

\[\liminf{n} a_{n+1} = \liminf{n} a_n .\]

Der Beweis ist recht trivial und kann als Übung durchgeführt werden. Anschließend setzten wir links die Rekursionsformeln ein und stellen dann mithilfe von auto nach \(\liminf{n} a_n\) um. Das setzt natürlich voraus, dass \(\liminf{n} a_n\) existiert, was beispielsweise mit auto zuvor gezeigt werden kann.

Für das nächste nützliche Hilfsmittel benötigen wir eine Möglichkeit, Folgen und ihre Grenzwerte der Größe nach zu ordnen.

Vorsicht: Aus \(a_n < b_n\) für alle \(n \in \N\) folgt nicht \(\liminf{n} a_n < \liminf{n} b_n\) wie zum Beispiel \(a_n = 0\) und \(b_n = \frac{1}{n}\) zeigt. Das \(\leq\) im obigen Satz ist also sehr wichtig. Mit dem vorigen Satz kann das folgende Sandwich-Theorem bewiesen werden:

Anschaulich quetschen wir damit eine Folge zwischen zwei anderen Folgen ein, die sich beide auf den gleichen Grenzwert \(g\) zubewegen:

In diesem Abschnitt haben wir den Großteil der Sätze vorgestellt, mit deren Hilfe wir die Konvergenz und Divergenz von Folgen nachweisen können. Zusammenfassend geben wir hier noch einmal eine kleine Übersicht der Sätze an. Wir geben jeweils mit an, ob man für den jeweiligen Konvergenzbeweis den Grenzwert kennen muss.

Die Tabelle enthält zur Vollständigkeit auch zwei Kriterien, die wir erst in den nächsten beiden Abschnitten formulieren werden.

Teilfolgen

Wir haben bereits ein paar Eigenschaften von beschränkten Folgen kennen gelernt. In diesem Abschnitt wollen wir den sogenannten Satz von Bolzano-Weierstraß beweisen. Dieser besagt, dass wir in jeder beschränkten Folge unendlich viele Folgenglieder so auswählen können, dass diese eine konvergente Folge ergeben. Also z.B. für \(a_n = (-1)^n\) könnten wir alle geraden oder alle ungeraden Folgenglieder auswählen. Der Satz mag auf den ersten Blick nicht sonderlich nützlich erscheinen, aber wir werden ihn in späteren Beweisen immer mal wieder benötigen und die Aussage an sich ist interessant. Definieren wir uns zunächst den Begriff der Teilfolge.

Für eine Teilfolge werden also nur einzelne Glieder der Folge berücksichtigt, ohne deren Reihenfolge zu ändern. Offensichtlich gilt, dass eine Teilfolge auch konvergent ist, wenn die ursprüngliche Folge schon konvergent ist, da das \(\eps\)-Kriterium direkt übertragbar ist.

Interessanter wird es, wenn die ursprüngliche Folge nicht konvergent ist. Teilfolgen können hier dabei helfen, die Divergenz der ursprünglichen Folge zu beweisen.

Der nächste Satz besagt, dass wir für jede beliebige Folge eine Teilfolge finden können, die entweder monoton wächst oder monoton fällt. Um den Beweis zu verstehen, nutzen wir sogenannte Gipfelpunkte einer Folge. Das sind Folgenglieder, die größer sind als alle nachfolgenden Folgenglieder. Betrachten wir dazu das folgende graphische Beispiel:

Es wird anschaulich klar, warum die gelben Punkte Gipfelpunkte genannt werden: Stellen wir uns die Folge wie die Silhouette eines Berges vor, auf welche die Sonne von rechts aus parallel zum Boden scheint, dann sind Gipfelpunkte solche Punkte der Bergkette, die im Sonnenlicht liegen (weil sie höher liegen, als alle Punkte rechts von ihnen). Mit diesen Punkten kann der folgende Satz sehr anschaulich bewiesen werden.

Nun haben wir alle Voraussetzungen um den Satz von Bolzano-Weierstraß zu beweisen. Wie bereits angedeutet, hilft uns der Satz auf den ersten Blick nicht um Grenzwerte von Folgen zu bestimmen, aber wir werden ihn in späteren Kapiteln noch häufiger benötigen.

Wir haben bereits festgestellt, dass Teilfolgen von divergenten Folgen gegen unterschiedliche Grenzwerte konvergieren können. Um hier die Benennung deutlicher zu machen, nennen wir Grenzwerte von Teilfolgen Häufungspunkte.

Der Satz von Bolzano-Weierstraß kann also auch so formuliert werden, dass jede beschränkte Folge mindestens einen Häufungspunkt besitzt. Genauso bedeuten die Sätze auto-no und auto-no, dass eine konvergente Folge genau einen Häufungspunkt besitzt, wohingegen Folgen mit mehreren Häufungspunkten divergent sind. Die Umkehrung dieser Formulierung gilt nicht. Das heißt, auch wenn genau ein Häufungspunkt existiert, muss die Folge nicht zwingend konvergieren, wie wir im nachfolgenden Beispiel zeigen.

Alternative Vollständigkeitsaxiome

Betrachten wir noch einmal eine der Mengen, mit denen wir Suprema und damit unser Vollständigkeitsaxiom motiviert hatten: \[ M_3 = \set{ \frac{n}{n + 1} \With \forall n \in \N } = \set{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}, \frac{7}{8}, \ldots}. \]

Mit dem Wissen aus diesem Kapitel würden Sie die Menge nun vermutlich mit einer Folge assoziieren, deren Grenzwert das Supremum von \(M_3\) ist, und könnten diesen leicht bestimmen: \[ a_n = \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \quad \Rightarrow \quad \liminf{n} a_n = \frac{1}{1 + 0} = 1. \]

Die Existenz eindeutiger Suprema für beschränkte Teilmengen von \(\R\) hatten wir in Kapitel 2.2 axiomatisch gefordert und daraus folgte, dass die reellen Zahlen (nach auto) vollständig sind. Wir hatten aber auch bereits darauf hingewiesen, dass verschiedene Formulierungen für die Vollständigkeit eines Körpers existieren, welche als Basis für das Vollständigkeitsaxiom dienen können.

In diesem Kapitel werden wir uns mit zwei häufig genutzen Alternativen beschäftigen, die beide mit Folgen zusammenhängen. In auto hatten wir aus dem Vollständigkeitsaxiom die Existenz von Quadratwurzeln gefolgert, diesen Beweis werden wir hier noch einmal analog für beide Alternativen führen.

Cauchy-Folgen

Die erste Variante der Vollständigkeit bedient sich der sogenannten Cauchy-Folgen. Diese spielen darüber hinaus eine besondere Rolle für den Konvergenznachweis, wenn der explizite Grenzwert unbekannt ist.

Die Definition ist ganz ähnlich zu dem \(\eps\)-Kriterium für die Folgenkonvergenz, allerdings vergleichen wir hier nicht die Folgenglieder mit dem Grenzwert, sondern mit einem anderen Folgenglied \(a_{n_0}\). Anders formuliert, gilt für Cauchy-Folgen, dass man immer ein Glied \(a_{n_0}\) findet, ab dem die Folgenglieder nicht mehr als \(\eps\) voneinander abweichen, sich also beliebig nahe kommen. Damit liegt die intuitive Vermutung nahe, dass Cauchy-Folgen immer konvergieren, was wir im folgenden Satz beweisen:

Ohne es explizit erwähnt zu haben, benutzt der Beweis für die Konvergenz von Cauchy-Folgen das Vollständigkeitsaxiom, denn die monotone, beschränkte Teilfolge bildet aus ihren Folgengliedern eine beschränkte Teilmenge von \(\R\). Außerdem ist der Grenzwert einer monotonen Folge identisch mit dem Supremum oder Infimum und diese existieren nur wegen der Vollständigkeit der reellen Zahlen (Axiom 3).

In vielen Lehrbüchern wird die Vollständigkeit der reellen Zahlen über die Konvergenz von Cauchy-Folgen definiert:

Mit diesem Axiom kann (und muss) man wiederum beweisen, dass Suprema und Infima für beschränkte Teilmengen in \(\R\) existieren. Die Entscheidung, welche Definition der Vollständigkeit man axiomatisch fordert ist größtenteils reine Geschmackssache. Man kann grundsätzlich aus jeder Variante die gleichen Schlüsse ziehen. Manche Varianten sind in bestimmten Fällen bei der Beweisführung aber einleuchtender. In auto hatten wir aus der Vollständigkeit der reellen Zahlen die Existenz von Quadratwurzeln in \(\R\) abgeleitet.

Wenn man die Vollständigkeit über die Konvergenz von Cauchy-Folgen axiomatisch fordert, kann daraus ebenfalls die Existenz von Quadratwurzeln abgeleitet werden, indem Konvergenz und Grenzwert der Wurzelfolge aus auto und auto-no gezeigt werden. Da jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist, muss dies also auch für die Wurzelfolge gelten und der Grenzwert muss in \(\R\) existieren. Häufiger wird jedoch zunächst aus den Cauchy-Folgen das sogenannte Intervallschachtelungsverfahren (siehe nächster Abschnitt) abgeleitet und damit die Wurzelexistenz bewiesen. Cauchy-Folgen werden uns aber im auto über Reihen wieder begegnen.

Intervallschachtelung

Wir definieren uns nun eine hilfreiche Schreibweise für bestimmte Mengen, die man Intervalle nennt:

Aus der Definition folgt, dass das Intervall \([a,a]\), welches nur aus dem Punkt \(a\) besteht, die Länge \(0\) hat. Um die uneigentlichen abgeschlossenen Intervalle von den ‘normalen’ abgeschlossenen Intervallen zu unterscheiden, führen wir noch die Definition der Kompaktheit ein:

Damit sind nur Intervalle der Form \([a,b]\) mit \(a,b \in \R\) kompakt und Intervalle der Form \([a,\infty)\) nicht.

Der Unterschied zwischen offenen und geschlossenen Intervallen ist ähnlich zu dem Unterschied eines Maximums und eines Supremums, wie das folgende Beispiel zeigt.

Mithilfe von Intervallen lässt sich eine sogenannte Intervallschachtelung definieren.

Die Intervallschachtelung begrenzt nach und nach immer enger eine bestimmte Zahl \(x \in \R\). Daher eignet sie sich sehr gut, um die Existenz bestimmter reeller Zahlen zu beweisen. Wir weisen zunächst nach, dass so eine Zahl für jede Intervallschachtelung in \(\R\) existieren muss.

Auch die Konvergenz der Intervallschachtelung wird in manchen Lehrbüchern zur Definition der Vollständigkeit genutzt und für die reellen Zahlen \(\R\) axiomatisch gefordert. Das entsprechende Alternativaxiom sähe dann so aus:

Auch mit diesem Axiom könnte die Existenz von Suprema und Infima für beschränkte Mengen oder die Konvergenz von Cauchy-Folgen bewiesen werden. Es ist damit gleichwertig zu Axiom 3 und der Alternative A zu Axiom 3. Wir können nun ein letztes Mal die Existenz von Quadratwurzeln beweisen, diesmal mithilfe einer Intervallschachtelung. Damit der Beweis auch ein paar neue Erkenntnisse bietet, verallgemeinern wir die Aussage direkt auf die Existenz \(k\)-ter Wurzeln.

Reihen

Neben Folgen sind Reihen ein weiteres Hilfsmittel, um Probleme approximativ zu lösen. Im Prinzip könnte man Reihen als spezielle Folgen betrachten. Ihre besondere Form und große praktische Bedeutung führen dazu, dass wir sie separat vorstellen.

Die Summation kann bei Reihen auch mit \(k=0\) (oder einem beliebigen anderen Index) beginnen, falls dies für die entsprechenden Beispiele zu einer einfacheren Darstellung führt. Da die Konvergenz einer Reihe über die Konvergenz der Teilsummen definiert ist, können wir das Cauchy-Konvergenzkriterium für Folgen auch auf Reihen übertragen:

Auch hier fällt wieder auf, dass die Konvergenzbedingung vollkommen unabhängig vom Startindex der Reihe ist. Ein paar endliche Summanden können lediglich den Grenzwert um einen endlichen Wert erhöhen/verringern, aber nichts an der Konvergenz oder Divergenz der Reihe ändern.

Die harmonische Reihe ist eine sehr wichtige Vergleichsreihe, da sie “gerade so” nicht konvergiert. Sie können zur Übung einmal bestimmen, wie viele Folgenglieder sie benötigen, um auch nur eine Summe von \(10\) oder \(20\) zu erreichen. Die Divergenz bedeutet, dass man jede noch so hohe Summe mit der harmonischen Reihe erreichen kann. Diese Reihe zeigt auch, dass es Reihen geben kann, deren Reihenglieder zwar eine Nullfolge sind, aber die trotzdem nicht konvergieren.

Umgekehrt gilt aber für jede Reihe, dass sie divergiert, wenn die Reihenglieder keine Nullfolge bilden. Sind z.B. alle Folgenglieder größer als ein positives \(\eps\), so werden unendlich viele Summanden \(\eps\) aufaddiert. Damit kann eine beliebig hohe Summe \(K\) durch \(\ceil{K/\eps}\) Summanden erreicht oder überschritten werden, wodurch die Folge der Partialsummen unbeschränkt, die Reihe also also divergent ist. Dies wird im folgenden Satz formal bewiesen:

Häufig werden wir Reihen betrachten, bei denen alle Folgenglieder positiv sind. Damit ist die Folge der Partialsummen automatisch monoton wachsend und es folgt analog zu auto folgender Satz für Reihen.

Konkrete Grenzwerte von Reihen zu bestimmen, ist gar nicht so einfach. Eine Ausnahme bilden Fälle, in denen wir die \(n\)-te Partialsumme so weit vereinfachen können, dass wir die Reihe in eine normale Folge überführen können. Die Gleichheit des Folgenterms und der Partialsumme zeigt man in der Regel per vollständiger Induktion. Ein prominentes und sehr wichtiges Beispiel hierfür ist die geometrische Reihe.

In anderen Fällen lässt sich der Grenzwert durch die Ausnutzung sogenannter Teleskopsummen beweisen. Dabei versucht man die Reihenglieder \(a_k\) durch eine zweite Folge \((b_k)\) so umzuschreiben, dass \(a_k = b_k - b_{k + 1}\). Damit ergibt sich für die \(n\)-te Partialsumme

\[\sum\limits^n_{k=0} a_k = \sum\limits^n_{k=0} (b_k - b_{k + 1}) = b_0 - b_1 + b_1 - b_2 + b_2 - b_3 + \ldots + b_n - b_{n+1} = b_0 - b_{n + 1}\]

Die Grenzwertbestimmung vereinfacht sich dadurch zu

\[\sum\limits^\infty_{k=0} a_k = \liminf{n}\sum\limits^n_{k=0} a_k = b_0 - \liminf{n}b_{n + 1}.\]

Ähnlich wie bei der Verknüpfung zweier konvergenter Folgen (auto) können wir auch konvergente Reihen miteinander kombinieren.

Um festzustellen, ob eine Reihe konvergiert, können wir im Prinzip die gleichen Kriterien anwenden, die wir bereits für Folgen kennengelernt haben. Allerdings ist dies durch die besondere Struktur der Reihen oft nicht leicht. In vielen Fällen können wir nicht, wie in den vorigen Beispielen, die Summenschreibweise vereinfachen. Daher gibt es besondere Konvergenzkriterien für Reihen, von denen wir im Folgenden einige kennenlernen werden. Wir beginnen mit dem Leibniz-Kriterium, welches wir für Reihen mit alterniereden Gliedern (d. h. Gliedern mit wechselnden Vorzeichen) anwenden können.

Absolut konvergente Reihen

Durch die Beträge in \(\sum{\abs{a_k}}\) ist die Folge der Teilsummen stets monoton wachsend. Das bedeutet, wenn wir zusätzlich eine obere Schranke für \(\sum{\abs{a_k}}\) finden können, folgt die absolute Konvergenz von \(\sum{a_k}\) über auto. Für die absolute Konvergenz haben sich daher besondere Kriterien entwickelt, durch welche diese für viele Reihen leicht bestimmbar oder widerlegbar ist.

Das Kriterium der absoluten Konvergenz hat auch praktische Relevanz. Bei einer Reihe, die zwar gewöhnlich, aber nicht absolut konvergiert, kann sich beispielsweise der Grenzwert verändern, wenn wir die Reihensummanden vertauschen. Dies zeigen wir im folgenden Beispiel.

Für absolut konvergente Reihen können wir dagegen beweisen, dass jede Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert und müssen uns daher über die Reihenfolge der Summation keine Gedanken machen.

Die absolute Konvergenz erlaubt uns also, dass wir mit unendlichen Reihen genauso umgehen dürfen wie mit endlichen Summen. Außerdem werden wir nun einige nützliche Kriterien herleiten, welche uns erlauben, Reihen recht einfach auf absolute Konvergenz zu prüfen. Beginnen wir mit einem Satz über den Zusammenhang zwischen absoluter und gewöhnlicher Konvergenz.

Wie bereits erwähnt, müssen wir für den Beweis der absoluten Konvergenz eine obere Schranke finden. Eine Möglichkeit dafür ist es, eine größere Reihe zu finden, von der wir wissen, dass sie konvergiert.

Das Majorantenkriterium impliziert außerdem folgendes Divergenz-Kriterium.

Die beiden folgenden Konvergenzkriterien basieren auf der Anwendung des Majorantenkriteriums auf die geometrische Reihe, wie man aus den Beweisen ablesen kann.

Obwohl das Majorantenkriterium das Wurzelkriterium impliziert und damit eine stärkere Bedingung darstellt, ist gerade die Limesform des Wurzelkriteriums sehr hilfreich für Konvergenzbeweise, da sie den Beweis auf das Abarbeiten einer einfachen ‘Anleitung’ reduziert. Gerade für Reihen mit \(k\) im Exponenten ist das Wurzelkriterium ideal geeignet, wie das folgende Beispiel zeigt.

Man kann das Quotientenkriterium auch aus dem Wurzelkriterium herleiten, allerdings nicht umgekehrt. Daraus folgt, dass letzteres das stärkere Kriterium ist und man die absolute Konvergenz mancher Reihen nur mit dem Wurzelkriterium zeigen kann. In den meisten Fällen sind aber beide Kriterien einsetzbar und man entscheidet sich für jenes, bei dem sich die einfacheren Terme ergeben. Besonders für Reihen, in denen Fakultäten vorkommen, ist das Quotientenkriterium gut geeignet.

Wir haben an dieser Stelle genug Vorarbeit geleistet, um Stellenwertsysteme zu verstehen. Also zum Beispiel das typische Dezimalsystem, in dem gilt \(1/4 = 0.25\). Dieses Stellenwertsystem basiert auf der natürlichen Zahl \(10\). Wir können aber auch beliebige andere Basen wählen. Prominente Beispiele sind das Binärsystem (Basis \(2\)) und das Hexadezimalsystem (Basis \(16\)). Da die Stellenwertsysteme für die restliche Veranstaltung nicht relevant sind, haben wir diesen Teil in einen Exkurs Stellenwertsysteme ausgelagert.

Potenzreihen

Potenzreihen sind eine wichtige Klasse von Reihen, die einige angenehme Eigenschaften haben, sodass sie sich einfach handhaben lassen. Gleichzeitig kann man mit Hilfe von Potenzreihen viele Funktionen approximieren, was wir in späteren Kapiteln noch weiter ausführen werden. An dieser Stelle werden nur die ersten Grundlagen der Potenzreihen eingeführt.

Für Potenzreihen fragen wir uns nicht nur, ob die Reihe konvergiert, sondern für welche \(x \in \R\) sie konvergiert. Durch die spezielle Struktur der Potenzreihe ergeben sich außerdem Vereinfachungen für die Konvergenzuntersuchung. Betrachten wir dazu folgendes Beispiel:

Die Menge der \(x\)-Werte, für die eine Potenzreihe konvergiert, ist stets ein zusammenhängendes Intervall, da der folgende Satz gilt:

Den sich so ergebenden zusammenhängenden Konvergenzbereich charakterisiert man über den sogenannten Konvergenzradius.

Allgemein kann man den Konvergenzradius als Supremum definieren. Es gilt \(r = \sup\left\{y=|x-x_0| | \text{Reihe konvergiert für } x\right\}\).

Im Folgenden werden wir noch die Exponentialreihe als sehr prominente Potenzreihe genauer betrachten, welche uns für den Rest der Veranstaltung begleiten wird.

Die Exponentialreihe

Die Exponentialreihe definiert die Exponentialfunktion \(\exp(x)\), für die es zahlreiche Anwendungen in den Naturwissenschaften und auch in Gesellschafts- und Wirtschaftwissenschaften gibt. Die Exponentialreihe ermöglicht die Approximation der Werte der Exponentialfunktion durch endliche Summation. Mit ihrer Hilfe werden z.B. Wachstums- und Zerfallsprozesse beschrieben.

Eine fundamentale Eigenschaft der Exponentialreihe ist \[\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y).\]

In manchen Lehrbüchern wird sie sogar hauptsächlich darüber definiert. Aus dieser lassen sich nahezu alle weiteren Eigenschaften der Reihe ableiten. Für den Beweis benötigen wir eine Verallgemeinerung des Distributivgesetzes (“jeder mit jedem”), damit wir unendliche Summen miteinander multiplizieren können. Dabei taucht dasselbe Problem auf, welches uns bereits bei der Abzählbarkeit von \(\Q\) begegnet ist (Kapitel 2.6): Wenn wir zwei unendliche Summen multiplizieren, ergibt sich: \[ \begin{align*} \left( a_0 + a_1 + a_2 + \ldots \right) \left( b_0 + b_1 + b_2 + \ldots \right) &=\\ a_0b_0 + a_0b_1 + a_0b_2 + \ldots + a_1b_0 &+ a_1b_1 + a_1b_2 + \ldots + a_2b_0 + a_2b_1 + a_2b_2 + \ldots + \ldots \end{align*} \]

Hierbei verbirgt sich hinter jedem \(\ldots\) eine unendliche Anzahl von Summanden. Bei einer Zuordnung der natürlichen Zahlen in dieser Reihenfolge würden bereits vor dem Term \(a_1b_0\) alle natürlichen Zahlen zugewiesen sein. Die Lösungsidee ist ebenfalls dieselbe, welche wir schon bei den rationalen Zahlen angewendet haben: wir stellen uns die Summanden der ersten Reihe als Zeilen und die der zweiten als Spalten einer Tabelle vor. Die sich ergebenden Produkte innerhalb der Tabelle nummerieren wir dann diagonal durch:

\[ \begin{array}{c|ccccccccccccc} && b_0 & & b_1 & & b_2 & & b_3 &\\ \hline \\[-2mm] a_0 && a_0b_0 & \rightarrow & a_0b_1 & & a_0b_2 & \rightarrow & a_0b_3 & \cdots \\ && & \swarrow & & \nearrow & & \swarrow \\ a_1 && a_1b_0 & & a_1b_1 & & a_1b_2 & & a_1b_3 & \cdots \\ &&\downarrow & \nearrow & & \swarrow \\ a_2 && a_2b_0 & & a_2b_1 & & a_2b_2 & & a_2b_3 & \cdots \\ & && \swarrow \\ a_3 && a_3b_0 & & a_3b_1 & & a_3b_2 & & a_3b_3 & \cdots \\ && \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & \end{array} \]

Dabei ist die Summe der Indizes in jeder Diagonale konstant. Es ergibt sich also die Summationsreihenfolge: \[ \left( a_0b_0 \right) + \left( a_0b_1 + a_1b_0 \right) + \left( a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 \right) + \ldots + \left( a_0b_n + a_1 b_{n-1} + a_2b_{n-2} + \ldots + a_nb_0 \right) + \ldots \]

Mit dieser Abzählung können wir jedem Summanden des Produkts der zwei Reihen genau eine natürliche Zahl zuweisen. Die Frage ist nun, wann diese Produktreihe konvergiert und ob das Produkt auch dem Produkt der Grenzwerte der beiden Einzelreihen entspricht? Der französische Mathematiker Augustin-Louis Cauchy hat für dieses Reihenprodukt erneut seinen Namen hergegeben.

Seien \(\sum\limits^\infty_{k=0}{a_k}\) und \(\sum\limits^\infty_{k=0}{b_k}\) absolut konvergente Reihen. Für \(n \in \N\) sei \[c_n \mathrel{:=}\sum\limits^n_{k=0}{a_k \cdot b_{n-k}} = a_0b_n + a_1b_{n-1} + \ldots + a_nb_0.\] Dann ist die Reihe \[\sum\limits^\infty_{k=0}{c_k} = \left( \sum\limits^\infty_{k=0}{a_k} \right) \cdot \left( \sum\limits^\infty_{k=0}{b_k} \right)\] absolut konvergent.

Beweis

Wir definieren \[ c_n \mathrel{:=} \sum\limits_{\substack{k+l = n \\ k,l \in \N_0}} a_k \cdot b_l \qquad \text{und} \qquad C_N \mathrel{:=} \sum^N_{n=0} c_n = \sum^N_{n=0} \sum\limits_{\substack{k+l = n \\ k,l \in \N_0}} a_k \cdot b_l, \] sowie die beiden Mengen \[ \begin{align*} Q_N &\mathrel{:=} \set{ (k,l) \in \N_0 \times \N_0 \mid k \leq N, l \leq N} ,\\ \Delta_N &\mathrel{:=} \set{ (k,l) \in \N_0 \times \N_0 \mid k + l \leq N } . \end{align*} \] Die Mengen werden in der unten stehenden Abbildung dargestellt. Offensichtlich gilt \(Q_{\floor{N/2}} \subset \Delta_N \subset Q_N\) für \(N \ge 2\).

Die Multiplikation der Teilsummen \(A_N \mathrel{:=} \sum\limits^N_{n=0}{a_n}\) und \(B_N \mathrel{:=} \sum\limits^N_{n=0}{b_n}\) liefert \[A_N \cdot B_N = \sum\limits_{k,l \in Q_N}{a_k \cdot b_l} .\]

Da \(\Delta_N \subset Q_N\) gilt \(A_N B_N - C_N = \sum\limits_{k,l \in Q_N \setminus \Delta_N}{a_k \cdot b_l}\).

Für die Teilsummen \(A_N^* \mathrel{:=} \sum\limits^N_{n=0}{\abs{a_n}}\) und \(B_N^* \mathrel{:=} \sum\limits^N_{n=0}{\abs{b_n}}\) erhält man \[A_N^*B_N^* = \sum\limits_{k,l \in Q_N}{\abs{a_k} \cdot \abs{b_l}} .\]

Ferner folgt aus \(Q_{\floor{N/2}} \subset \Delta_N \;\Rightarrow\; Q_N \setminus \Delta_N \subset Q_N \setminus Q_{\floor{N/2}}\), womit gilt \[ \abs{ A_N B_N - C_N } \leq \sum\limits_{k,l \in Q_N \setminus Q_{\floor{N/2}}} \abs{a_k} \abs{b_l} = A^*_N B^*_N - A^*_{\floor{N/2}} B^*_{\floor{N/2}} . \]

Da beide Reihen absolut konvergent sind, konvergiert \(A^*_N B_N^*\) und ist also eine Cauchy-Folge, sodass für \(N \to \infty\) die obige Differenz gegen \(0\) konvergiert und damit auch \[ \liminf{N} C_N = \liminf{N}A_N B_N = \liminf{N} A_N \cdot \liminf{N} B_N . \] Damit wurde gezeigt, dass \(\sum\limits^\infty_{n=0}{c_n}\) konvergiert. Die absolute Konvergenz folgt aus \[ \sum^\infty_{n=0} \abs{c_n} \leq \sum^\infty_{n=0} \sum^n_{k=0} \abs{a_k} \cdot \abs{b_{n-k}} . \]

▢

Die Konvergenz des Cauchy-Produkts zweier absolut konvergenter Reihen gilt übrigens erneut nur für absolut konvergente Reihen, aber nicht zwangsweise für konvergente Reihen.

Wenden wir uns nun den wichtigsten Eigenschaften der Exponentialreihe zu:

Teil (d) lässt sich auf \(x \in \R\) ausdehnen. Es ist dann \(e^x = \exp(x) = \exp(n + \delta) = e^n \cdot \exp(\delta)\) mit \(\delta = x - n\), \(n = \floor{x} \in \Z\). Diese Darstellung kann man nutzen, um reellwertige Exponenten für eine allgemeine Basis, nicht nur der Basis \(e\), zu definieren. Wir werden dies später weiter vertiefen.

Wir sind bisher noch nicht auf den zweiten Teil der auto eingegangen, der Definition der Eulerschen Zahl \(e\). Wir hatten \(e\) bereits im Zusammenhang mit den Folgen \((e_n)\) und \((\bar{e}_n)\) (auto und auto-no) im Kapitel zu Folgen erwähnt. Die Folgen waren definiert als \[e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \qquad \bar{e}_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}\]

Es ist alles andere als offensichtlich, dass die Grenzwerte dieser beiden Folgen und der Reihenwert von \(\exp(1)\) die gleiche Zahl \(e\) ergeben sollen. Dies werden wir im folgenden Satz beweisen.

Es gibt noch weitere Darstellungen der Eulerschen Zahl z.B. \(e = \liminf{n} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\), die wir hier aber nicht beweisen werden. Manche Beweise werden mit der Folgendarstellung der Exponentialreihe deutlich einfacher. Zum Beispiel könnten wir erneut zeigen, dass gilt \[\begin{align*}\exp(x)\exp(y) &= \liminf{n}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \liminf{n}\left(1 + \frac{y}{n}\right)^n\\ &= \liminf{n}\left(\left(1 + \frac{x}{n}\right)\left(1 + \frac{y}{n}\right)\right)^n \\ &= \liminf{n}\left(1 + \frac{x + y}{n} + \frac{xy}{n^2}\right)^n \\ &= \liminf{n}\left(1 + \frac{x + y}{n}\right)^n \\ &= \exp(x + y)\end{align*}.\]

Den vorletzten Umformungsschritt müsste man noch mit dem binomischen Lehrsatz begründen, aber ansonsten würden Sie vermutlich zustimmen, dass dieser Beweis einfacher von der Hand geht als unsere erste Variante mit Cauchy-Produkten.

Komplexe Folgen und Reihen

Zum Abschluss des Kapitels wollen wir noch ein paar Worte zu Folgen und Reihen komplexer Zahlen verlieren. Besonders die komplexe Exponentialreihe wird uns noch häufiger begegnen, da diese in der Praxis häufig genutzt wird. Welche Eigenschaften aus Kapitel 3 können wir auch auf komplexe Folgen und Reihen anwenden und welche nicht? Der Unterschied zwischen \(\R\) und \(\C\) ist, dass wir zwei reelle Zahlen vergleichen (ordnen) können, zwei komplexe Zahlen jedoch nicht. Da es bei Folgen und Reihen immer wieder um Größenvergleiche ging, liegt der Schluss nahe, dass die meisten Sätze im Komplexen nicht anwendbar sind. Allerdings fällt bei genauerer Betrachtung auf, dass die meisten Aussagen lediglich eine Menge erfordern, auf der eine Metrik definiert ist (sogenannte metrische Räume). Somit können wir fast alle Sätze auch auf komplexe Folgen und Reihen anwenden. Sätze, in denen betragsfreie Größenvergleiche vorkommen (wie im Sandwich-Theorem) können wir ebenfalls auf komplexe Reihen übetragen. Dazu betrachten wir den Betrag der zu vergleichenden Größen.

Als das prominenteste Beispiel betrachten wir die komplexe Exponentialreihe

Sie sehen, dass der Beweis analog zum Konvergenzbeweis der reellwertigen Exponentialreihe funktioniert und genauso lassen sich alle Eigenschaften aus auto bis auf \(\exp(x) > 0\) auch auf komplexwertige Argumente übertragen.

Für komplexe Potenzreihen ist der Konvergenzradius tatsächlich der Radius eines Kreises in der komplexen Ebene, dies können Sie in der folgenden Demo für die komplexe geometrische Reihe ausprobieren:

Funktionen

Funktionen sind ein zentrales Hilfsmittel, um den Zusammengang zwischen abhängigen Größen formal zu beschreiben. Sie werden damit in praktisch allen Wissenschaftsbereichen eingesetzt. In der Informatik existiert das klassische Konzept der Funktion, die ein Programmstück beschreibt, das aus den Werten der Eingabeparameter einen Resultatwert berechnet. Die theoretische Informatik beschäftigt sich unter anderem damit, welche Funktionen überhaupt auf einem Rechner, wie er heute genutzt wird, berechenbar sind und wie hoch der Berechnungsaufwand ist. Zur Darstellung des Berechnungsaufwandes wird dieser oft in Abhängigkeit von einer Eingabegröße mit einigen typischen Funktionen verglichen. Neben dem Berechnungsaufwand spielt natürlich auch die Genauigkeit der Berechnungen eine Rolle. Im Rechner wird immer nur mit endlicher Genauigkeit gearbeitet. Deshalb müssen viele Elemente aus \(\R\) durch rationale Zahlen approximiert werden, so dass fast alle Berechnungen streng genommen nur Approximationen sind. Der Approximationsgüte widmet sich die Numerik, die an der Grenze zwischen angewandter Mathematik und Informatik angesiedelt ist.

Wir haben uns bisher bereits mit speziellen Funktionen beschäftigt, die von jeder natürlichen Zahl \(n \in \N\) auf eine reelle Zahl \(a_n \in \R\) abbilden. Diese speziellen Funktionen haben wir Folgen (und Reihen) genannt. In der Analysis beschäftigt man sich aber in den meisten Fällen mit Funktionen, deren Definitionsbereich die gesamten reellen Zahlen oder ein bestimmtes Teilintervall der reellen Zahlen ist.

Verinnerlichen Sie die Unterschiede von Definitionsbereich, Bildbereich und dem Bild von \(f\). Wenn wir für eine Funktion \(f\) schreiben \(f : \R \to \R\), dann ist für den Definitionsbereich entscheidend, dass die Funktion auch für alle \(x \in \R\) definiert ist. Wir könnten also zum Beispiel nicht \(f(x) = \frac{1}{x}\) auf ganz \(\R\) definieren, da die Funktion für \(0\) nicht definiert wäre. Der Bildbereich dagegen darf mehr Elemente enthalten, als wir mit \(f\) tatsächlich erreichen. Hier können wir also für reellwertige Funktionen stets alle reellen Zahlen angeben, denn nicht jedes Element des Bildbereichs muss getroffen werden (das Bild von \(f\) ist eine Teilmenge der Bildmenge von \(f\)). Für \(f(x) = x^2\) wäre es also vollkommen legitim zu schreiben \(f: \R \to \R\), obwohl das Bild von \(f\) nur \(f(\R) = \R_{\geq 0}\) ist. Achten Sie darauf, das Bild und den Bildbereich von \(f\) nicht gleichzusetzen.

Bei der Definition zusammengesetzter Funktionen muss darauf geachtet werden, dass man jedem \(x\) ein eindeutiges Ziel zuordnet. Es darf also niemals zwei verschiedene Bildwerte für dasselbe \(x\) geben.

Wenn Definitions- und Bildbereich ein Teil der reellen Zahlen sind, dann kann man eine Funktion auch mit einem sogenannten Graphen assoziieren. Dazu definiert man für eine Funktion \(f: A \to B\) den Graphen als \[\Gamma_f \mathrel{:=} \set{ (x,y) \in \R \times \R \mid x \in A \and y = f(x) },\] also die Menge aller Tupel \((x,f(x))\), welche wir zur Visualisierung in einem \(x\)-\(f(x)\)-Diagramm (wird auch häufig \(x\)-\(y\)-Diagramm genannt) darstellen können. Es gibt Funktionen, wie die oben definierte Dirichlet-Funktion, die sich nicht sinnvoll zeichnen lassen. Im Folgenden zeigen wir ein paar Beispiele für Funktionsgraphen.

Bevor wir zum Hauptthema dieses Kapitels (der Stetigkeit) kommen können, starten wir mit ein paar grundlegenden Definitionen für Funktionen, damit wir diese besser in ihren Eigenschaften beschreiben können.

Grundlegende Funktionseigenschaften

Für surjektive und bijektive Funktionen ist \(B = f(A)\). Wir können den Definitionsbereich auch auf ein Teilintervall einschränken und sagen, dass \(f\) auf diesem Teilintervall bijektiv ist. Die Eigenschaften haben unter anderem eine Bedeutung bei der Lösung von Gleichungen der Form \(f(x)=y\). Falls \(f\) injektiv ist, gibt es höchstens eine Lösung, falls \(f\) surjektiv ist, gibt es mindestens eine Lösung.

Die beiden folgenden Definitionen beschreiben die Kombination von Funktionen zur Erzeugung neuer, zusammengesetzter Funktionen. Wir werden später untersuchen, welche Eigenschaften der Funktionen sich auf die zusammengesetzten Funktionen übertragen.

Eine besondere Komposition ergibt sich, wenn die beiden Funktionswirkungen sich gegenseitig aufheben, also \(f(g(x)) = x\) gilt. In diesem Fall spricht man davon, dass \(g\) die Umkehrfunktion von \(f\) ist.

Wir können Umkehrfunktionen auf dem Bildbereich \(B\) nur dann und genau dann definieren, wenn \(f\) bijektiv ist.

Häufig werden nicht-bijektive Funktionen \(f\) auf ein Teilintervall des Definitionsbereichs eingeschränkt, auf dem sie bijektiv sind. Für dieses gibt man anschließend eine Umkehrfunktion an.

Der Unterschied zwischen der zweiten und dritten Definition im letzten Beispiel kann leicht übersehen werden. Man sollte sich daher angewöhnen, für die Definition von Umkehrfunktionen ganz genau auf Definitions- und Bildbereich zu achten. Übrigens: Wenn wir wissen, dass \(f\) bijektiv ist, genügt es eine der beiden Bedingungen aus auto für eine mögliche Umkehrfunktion zu prüfen, da die zweite dann aus der ersten folgt.

Als Nächstes übertragen wir ein paar Definitionen der Folgen auf allgemeine Funktionen.

Eine Funktion ist also nach oben beschränkt, wenn es für alle \(x \in A\) ein \(K_1 \in \R\) gibt mit \(K_1 \geq f(x)\) bzw. nach unten beschränkt, wenn es ein \(K_2 \in \R\) gibt mit \(K_2 \leq f(x)\). Wir werden für beschränkte Funktionen auch häufiger \(K = \max\set{\abs{K_1}, \abs{K_2}}\) nutzen, da wir damit die beiden Beschränktheitsbedingungen kompakt als \[\abs{f(x)} < K ,\; \forall x \in A\] schreiben können.

Aus strenger Monotonie können wir unter anderem die Injektivität der Funktion folgern und damit die Existenz einer Umkehrfunktion (auf dem Bild von \(f\)). Dies ist eine einfache Möglichkeit zu zeigen, dass eine Umkehrfunktion existiert.

Sei \(f: \R_{>0} \to \R_{>0}\) mit \(f(x)= x^k\), \(k \in \N\) und \(k \geq 2\).

\(f\) ist (nach auto) streng monoton wachsend und bildet von \(\R_{>0}\) bijektiv auf \(\R_{>0}\) ab. Die Umkehrfunktion \(f^{-1}: \R_{>0} \to \R_{>0}\) mit \(f^{-1}(x) = \sqrt[k]{x}\) existiert nach dem vorigen Satz und ist ebenfalls streng monoton wachsend.

Grenzwerte von Funktionen

Wir haben uns bereits in Kapitel 3 eingehend mit Grenzwerten von Folgen und Reihen (also einer speziellen Art von Funktionen) beschäftigt. Wir wollen nun diesen Grenzwertbegriff auf beliebige Funktionen verallgemeinern, damit klar ist, was wir meinen, wenn wir z.B.

\[\lim_\limits{x \to 5} f(x)\]

schreiben. Diese Funktionsgrenzwerte werden uns für den Rest der Veranstaltung begleiten, da sie für die Differential- und Integralrechnung essenziell sind. Damit wir im obigen Beispiel den Grenzwert bei \(x = 5\) bestimmen können, muss entweder \(x = 5\) selbst zum Definitionsbereich gehören, oder es muss Elemente im Definitionsbereich geben, die \(x = 5\) beliebig nahe kommen. Die Funktion könnte also zum Beispiel auch auf \([1,5)\) definiert sein. Diese beiden Fälle fasst man unter dem Begriff des Berührpunktes zusammen.

Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass es eine Folge \((x_n)\) gibt, deren Folgenglieder im Definitionsbereichs von \(f\) liegen und die gegen \(a\) konvergiert, also \(\liminf{n} x_n = a\). Für \(A = \R_{>0}\) sind also alle \(x \geq 0\) (auch \(0\) selbst) Berührpunkte, \(x = -1\) aber nicht. In den meisten Fällen ist dies sofort durch den Definitionsbereich klar und man muss sich meist keine großen Gedanken um Berührpunkte machen. Kommen wir also zur allgemeinen Grenzwertdefinition für Funktionen:

Achtung: Wir sprechen nur von einem Grenzwert, wenn \(c \in \R\), also sind \(c = \pm \infty\) keine gültigen Grenzwerte. Wir werden später häufig Sätze sehen in denen ‘wenn der Grenzwert existiert’ ein Teil der Aussage ist. Dafür muss der Grenzwert eine reelle Zahl sein. Wir werden später noch sogenannte uneigentliche Grenzwerte einführen, die den Fall \(c = \pm \infty\) behandeln.

Wir haben also Grenzwerte von Funktionen über Folgengrenzwerte definiert. Unser Wissen über Folgengrenzwerte aus dem letzten Kapitel können wir also auch hier wieder nutzen. Oft ist es hilfreich den Definitionsbereich in zwei Teilbereiche zu trennen:

Man spricht auch vom Grenzwert “von oben” (rechtsseitiger) und “von unten” (linksseitig). Manchmal sieht man auch die Schreibweise \(\lim\limits_{x \to a^-} f(x)\) für den linksseitigen und \(\lim\limits_{x \to a^+} f(x)\) für den rechtsseitigen Grenzwert.

Die Rückrichtung dieses Satzes eignet sich besonders gut, um Grenzwerte zusammengesetzter Funktionen zu bestimmen, oder zu zeigen, dass diese nicht existieren. Mit dem Werkzeugt der Grenzwertbestimmung gerüstet, können wir uns nun dem Hauptthema dieses Kapitels widmen: der Stetigkeit.

Stetige Funktionen

Für die weiteren Untersuchungen von Funktionen ist es oft notwendig, dass die betrachtete Funktion ein “gutmütiges Verhalten” besitzt. Damit wollen wir die Sprünge einer Funktion, wie wir sie im letzten Beispiel gesehen haben, ausschließen. Anders gesagt: Wenn wir eine beliebige Folge betrachten, die gegen einen Grenzwert \(a\) konvergiert, dann ist unser gewünschtes “gutartiges Verhalten”, dass die Funktionswerte der Folge gegen \(f(a)\) konvergieren. Dies fasst man unter dem Begriff der Stetigkeit zusammen.

auto kann man auch so ausdrücken, dass wir für stetige Funktionen (bzw. an stetigen Stellen der Funktion) den Limes in die Funktion ziehen dürfen, also: \[ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f\left(\lim\limits_{x \to a}x\right) = f(a) . \] Dies nutzen wir, um zu zeigen, dass die Exponentialfunktion \(\exp(x)\) stetig ist.

Bisher müssen wir für einen Stetigkeitsbeweis immer den Umweg über Folgen gehen. Da der Grenzwert für beliebige Folgen gelten muss, kann dies bei komplizierteren Funktionen schnell sehr aufwendig werden. Wir hätten also gerne eine alternative Methode für den Stetigkeitsbeweis. Oft wird Stetigkeit damit erklärt, dass wir den Graphen einer Funktion zeichnen können, ohne den Stift abzusetzen. Allerdings eignet sich diese Anschauung nicht für einen Beweis, da wir zum Beispiel immer nur einen begrenzten Abschnitt einer Funktion zeichnen können und auch nur mit begrenzt hoher Auflösung. Außerdem gibt es Funktionen, bei denen wir zwar den Stift absetzen müssen, die aber trotzdem stetig sind, wie beispielsweise \(f : \R\setminus\set{0} \to \R\) mit \(f(x) = x^{-1}\).

Der Graph erfordert definitiv das Absetzen des Stiftes, allerdings liegt die “Absetzstelle” nicht im Definitionsbereich, da \(x = 0\) ausgeschlossen werden muss. Für alle anderen Punkte \(x \neq 0\) lässt sich die Stetigkeit leicht zeigen (zur Übung). Somit wäre diese Funktion stetig, obwohl der Graph nicht danach aussieht. Wir benötigen also ein handlicheres Kriterium für die Stetigkeit, das sich besser für einen Beweis eignet. Das nun folgende \(\eps\)-\(\delta\)-Kriterium sieht auf den ersten Blick zwar komplizierter aus, ist aber sehr hilfreich für diesen Zweck. Es beschreibt die “Gutmütigkeit” der Funktion in etwa wie folgt: wenn sich \(x\) und \(a\) immer näher kommen, dann sollen sich \(f(x)\) und \(f(a)\) auch immer näher kommen.

Betrachten wir zunächst eine graphische Interpretation des \(\eps\)-\(\delta\)-Kriteriums:

Links ist der Fall einer stetigen Funktion gezeigt. Für das grüne Funktionswertintervall \((f(a) - \eps, f(a) + \eps)\) finden wir stets ein gelbes Definitionsbereichsintervall \((a - \delta, a + \delta)\), sodass alle Funktionswerte des gelben Bereichs auch im grünen liegen. Wir könnten links das \(\eps\), also den grünen Bereich, beliebig klein machen und würden trotzdem immer einen \(\delta\) (gelben) Bereich finden, für den dies gilt. Bei der unstetigen Funktion rechts gibt es eine \(1\) Längeneinheiten große Lücke bei \(x = 2\). Wenn wir also hier z.B. \(\eps = 0.5\) wählen, dann können wir den gelben Bereich um die unstetige Stelle noch so groß oder klein machen, es würde immer Funktionswerte im gelben Bereich geben, die nicht im grünen Bereich liegen.

Wir können jetzt mit dem Folgenkriterium (auto bzw. auto) oder dem \(\eps\)-\(\delta\)-Kriterium (auto) die Stetigkeit von Funktionen nachweisen. Die folgenden zwei Sätze vereinfachen den Nachweis der Stetigkeit komplizierter Funktionen, indem sie diese auf Kombinationen einfacherer Funktionen zurückführen.

Nachdem wir nun einige Techniken kennen, um die Stetigkeit einer Funktion nachzuweisen, wollen wir nun nützliche Folgerungen aus der Stetigkeit ableiten. Als Anschauung können Sie immer das “Zeichnen des Graphen ohne den Stift abzusetzen” im Hinterkopf behalten.

Vorsicht: Der Satz gilt nicht für \(f: [a, b]\subset \Q\to \R\), da in \(\Q\) die Intervallschachtelung, welche wir zum Beweis benutzt haben, nicht konvergieren muss. Zum Beispiel ist \(f(x) = x^2-2\) stetig, aber die Nullstelle \(\sqrt{2}\) liegt nicht in \(\Q\).

Graphisch kann man sich den Zwischenwertsatz mit dem im folgenden Bild veranschaulichen: Es ist nicht möglich, eine durchgängige Linie von \(f(a)\) zu \(f(b)\) zu zeichnen (die stetige Funktion), welche die \(x\)-Achse nicht mindestens einmal schneidet.

Der folgende Satz betrachtet stetige Funktionen auf kompakten Intervallen (zur Erinnerung: kompakt bedeutet abgeschlossen und beschränkt, siehe auto).

Der vorherige Satz gilt nicht für offene oder halboffene Intervalle. So ist zum Beispiel die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) im Intervall \((0,1)\) stetig, aber unbeschränkt. Die Funktion \(f(x) = x\) ist im Intervall \((0,1)\) stetig und beschränkt, nimmt aber weder das Supremum \(1\) noch das Infimum \(0\) an.

Die Stetigkeit und ihre Folgerungen wirken an dieser Stelle recht trivial, da wir uns die Funktionen noch gut als Graphen vorstellen können. Wir können die Regeln aber später auch teilweise auf mehrdimensionale oder komplexwertige Funktionen erweitern, die in sehr vielen praktischen Anwendungen eine Rolle spielen. Für viele dieser Funktionen versagt die Vorstellungskraft. Mit den hier eingeführten Regeln und Folgerungen können wir für diese Funktionen aber zum Beispiel trotzdem zeigen, dass auf einem kompakten Definitionsgebiet irgendwo ein Minimum und Maximum existieren muss. Diese Extrema sind in der Praxis von großem Interesse, da sie eine optimale Lösung des von der Funktion beschriebenen Problems darstellen.

Zuletzt betrachten wir noch die sogenannte gleichmäßige Stetigkeit, bei der eine stärkere Bedingung an die Funktion gestellt wird, als bei der herkömmlichen Stetigkeit. Ähnlich wie beim Satz von Bolzano-Weierstraß wird an dieser Stelle noch nicht gleich klar, wofür wir diese zweite Art der Stetigkeit benötigen. Aber wir werden im Kapitel über Integrale einen sehr wichtigen Satz beweisen, der die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion erfordert.

Machen Sie sich den Unterschied zu auto bewusst. Dort haben wir gefordert, dass für alle \(a\) im Definitionsbereich gilt \[ \forall \eps > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in A \gilt \abs{x - a} < \delta \folgt \abs{f(x) - f(a)} < \eps. \]

Hierbei konnte das \(\delta\) sowohl von \(a\), als auch von \(\eps\) abhängen. Bei der gleichmäßigen Stetigkeit übernimmt das \(y\) die Rolle von \(a\), steht aber nun nach dem \(\delta\) in der Bedingung. Daher darf für die gleichmäßige Stetigkeit das \(\delta\) nur noch von \(\eps\) abhängen. Man kann sich die gleichmäßige Stetigkeit also damit vorstellen, dass eine Grenze für die Schwankung von Funktionswerten für jede Intervalllänge von \(x\)-Werten existiert. Die Funktion kann also auf einer vorgegebenen Intervalllänge nicht beliebig stark ansteigen.

Den nun folgenden Satz werden wir, wie bereits erwähnt, später noch benötigen.

Elementare Funktionen

Wir wollen in diesem Abschnitt einmal die wichtigsten Funkionenklassen gebündelt vorstellen. Diese werden auch häufig als elementare Funktionen bezeichnet, auch wenn dies keine offizielle mathematische Definition ist. Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass Kombinationen stetiger Funktionen wieder stetig sind. Daher ist es hilfreich, ein gutes Repertoire an solchen stetigen Basisfunktionen zu kennen, aus denen man sich viele (aber nicht alle) in der Praxis relevanten Funktionen zusammenbauen kann, die dann wiederum stetig sind.

Polynome und rationale Funktionen

In diesem Abschnitt betrachten wir zwei wichtige Klassen von Funktionen, die durch ihre einfache Analysierbarkeit und die Möglichkeiten, mit ihnen andere, komplexere Funktionen zu approximieren, in der Analysis eine große Bedeutung haben.

Wir können Polynome auch kombinieren. Wenn \(p(x) = \sum\limits_{i=0}^n a_i x^i\) und \(q(x) = \sum\limits_{i=0}^m b_i x^i\) zwei Polynome sind, und \(c \in \R\) ein Skalar, dann ergeben folgende Operationen wieder ein Polynom, wie man leicht nachrechnen kann: \[ \begin{eqnarray*} (p+q)(x) &=& \sum_{i=0}^{\max\{n,m\}} \left(a_i+b_i\right) x^i ,\\ (c \cdot p)(x) &=& \sum_{i=0}^{n} \left(c \cdot a_i \right) x^i ,\\ (p \cdot q)(x) &=& \sum_{i=0}^{n+m} c_i x^i \quad\text{mit}\quad c_k = \sum_{j=0}^k a_j b_{k-j} . \end{eqnarray*} \]

Die Division von zwei Polynomen ist allerdings kein Polynom mehr, sondern eine sogenannte rationale Funktion:

Mit der Anwendung von Satz auto ist jedes Polynom und auch jede rationale Funktion stetig. Wichtig ist vielleicht noch zu erwähnen, dass wir auto nur endlich oft anwenden dürfen. Unendliche Summen von Potenzen (also Potenzreihen) sind nicht automatisch stetig auch wenn ihre Summanden und Teilsummen jeweils stetig sind. Wenn wir in den beiden letzten Definitionen \(x \in \C\) und \(a_n \in \C\) wählen, erhalten wir komplexe Polynome und komplexe rationale Funktionen.

Aus der Schule wissen Sie vermutlich, dass jedes Polynom vom Grad \(n\) maximal \(n\) Nullstellen besitzen kann. Aber warum ist das eigentlich so? Um dies zu zeigen, müssen wir erst eine Art Division mit Rest von Polynomen betrachten, die sogenannte Polynomdivision. Wenn wir ein Polynom \(p(x)\) vom Grad \(n\) durch ein Polynom \(q(x)\) vom Grad \(m\) mit \(m \leq n\) teilen, ergibt sich ein neues Polynom \(s(x)\) vom Grad \(n-m\) und ein Restpolynom \(r(x)\), dessen Grad kleiner ist als \(m\). Vergleichen Sie dies mit der Division mit Rest auto: Auch hier ist das Restglied stets kleiner als die Zahl, durch die wir teilen, und das Ergebnis der Division ist kleiner als die Ausgangszahl. Da der Beweis recht technisch ist, betrachten wir zuerst ein Beispiel für die Polynomdivision:

Nun also noch der eigentliche Satz und Beweis:

Als nächstes betrachten wir bestimmte Polynome für \(q(x)\), sogenannte Linearfaktoren \(q(x) = x - x_1\) für ein \(x_1 \in \R\). Für diese können wir Folgendes zeigen:

Kombinieren wir auto und auto, dann folgt, dass wir \(p(x)\) als \((x-x_1)q(x)\) darstellen können, wenn \(x_1\) eine Nullstelle von \(p(x)\) ist. Außerdem muss dann \(q(x)\) um einen Grad kleiner sein als \(p(x)\). Dies können wir maximal \(n\) (Grad von \(p(x)\)) mal durchführen. Damit hat ein Polynom vom Grad \(n\) höchstens \(n\) Nullstellen.

Für komplexe Polynome lässt sich sogar zeigen, dass diese genau \(n\) Nullstellen haben. Dies beweist man, indem man zeigt, dass jedes komplexe Polynom mindestens eine Nullstelle hat. Der formale Beweis hierfür ist leider ein wenig ausufernd, weswegen wir ihn nur graphisch motivieren, bzw. dafür auf das Vorlesungsvideo von Prof. Weitz verweisen. Anschließend kann man wie im letzten Absatz folgern, dass jede Nullstelle als Linearfaktor abgespalten werden kann, wodurch sich der Grad um Eins verringert. Da auch das übrige Polynom wieder mindestens eine komplexe Nullstelle haben muss, ergibt sich nach \(n\)-maliger Anwendung dieser Argumentation, dass ein komplexes Polynom vom Grad \(n\) genau \(n\) Nullstellen besitzt.

Die reelle Exponentialfunktion

Wir haben im Kapitel zu Potenzreihen bereits die Exponentialreihe eingeführt. Die Exponentialfunktion definieren wir nun über eben diese Reihe:

Wie wir bereits in auto gesehen haben, ist die Exponentialfunktion stetig. Die meisten weiteren Eigenschaften der Exponentialfunktion leiten sich aus den Eigenschaften der Exponentialreihe ab und werden hier nur noch einmal wiederholt:

Sie werden in ihrem Studium noch häufig das Wachstum zweier Funktionen miteinander vergleichen, um zum Beispiel Aussagen darüber zu treffen, wie viel langsamer ein Algorithmus wird, wenn man die Elemente einer darin vorkommenden Menge verdoppelt (z.B. einen Sortierungsalgorithmus auf ein doppelt so großes Array anwendet). Dabei ist es hilfreich, für die elementaren Funktionen zu wissen, wie schnell diese im Verhältnis zueinander wachsen. Vergleichen wir also das Wachstum von \(x^k\) mit dem von \(\exp(x)\):

Mit anderen Worten: Die Exponentialfunktion wächst für \(x \to \infty\) schneller gegen \(\infty\) als jedes \(x^n\) und fällt für \(x \to -\infty\) schneller gegen \(0\) als jedes \(x^{-n}\).

Logarithmen und allgemeine Potenzen

Da die Exponentialfunktion eine bijektive Abbildung \(\exp : \R \to \R_{>0}\) ist, existiert eine Umkehrfunktion.

Aus der Definition ergeben sich direkt die folgenden Eigenschaften:

Wir werden später noch sehen, wie wir Werte des natürlichen Logarithmus, wie z.B. \(\ln(2)\) beliebig genau approximieren können. Analog zum Satz vom Wachstum der Exponentialfunktion gibt es auch einen nützlichen Wachstumsvergleich für Logarithmen:

Wie Sie sich vielleicht erinnern, hatten wir für die harmonische Reihe damals gesagt, dass diese “gerade so” nicht konvergiert: Sie wächst zwar auf beliebig hohe Werte an, braucht dafür aber extrem viele Summanden. Ähnlich verhält es sich mit Logarithmen, und man kann sogar zeigen, dass gilt:

\[\sum^n_{k=1} \frac{1}{k} \approx \ln(n) + \gamma \quad \text{mit}\quad \gamma = 0.577215\ldots\]

\(\gamma\) ist die Euler-Mascheroni-Konstante und die Näherung wird für große \(n\) immer genauer. Logarithmisches Wachstum wird in der Informatik oft als Vergleichswert verwendet, um die Komplexität eines Algorithmus zu beschreiben (also wie viel länger muss dieser rechnen, wenn man die Größe eines Eingabeelements, z.B. eines Arrays, verdoppelt).

Mithilfe der Logarithmen können wir unsere Potenzdefinition aus auto auch auf allgemeine positive Basen und beliebige Exponenten erweitern:

Damit der Ausdruck \(a^x\) wohldefiniert ist, muss sich für \(x = n\in \Z\) wieder unsere alte Definition mit ganzzahligem Exponent ergeben. Außerdem zeigen wir im folgenden Satz, dass sich auch alle anderen Eigenschaften, die wir schon von ganzzahligen Potenzen kennen, übertragen lassen:

Ähnlich zur Exponentialfunktion kann auch der Logarithmus für allgemeine Basen \(a \in \R_{>0}\setminus\set{1}\) definiert werden.

Der allgemeine Logarithmus löst die Gleichung \(a^x = b\) mit \(x = \log_a(b)\). Die Schreibweise zu Logarithmen ist in der Literatur nicht einheitlich. Manchmal bezeichnet \(\log(x)\) den natürlichen Logarithmus, den wir mit \(\ln(x)\) bezeichnen. Manchmal sieht man auch die Schreibweise \(\lg(x)\) für den dekadischen Logarithmus (\(a = 10\)) und \(\mathrm{lb}(x)\) für den binären Logarithmus (\(a = 2\)).

Hyperbolische Funktionen

Wir betrachten in diesem Abschnitt Funktionen, die normalerweise nicht zum Schulstoff gehören, aber trotzdem an vielen Stellen in der Praxis vorkommen. Außerdem bereiten sie die Definition der Sinus- und Cosinusfunktion vor. Beginnen wir mit der Definition einer wichtigen Funktionseigenschaft, der Symmetrie.

Wir können jede Funktion mit symmetrischem Definitionsbereich in eine gerade Funktion \(g(x)\) und eine ungerade Funktion \(u(x)\) aufteilen, sodass \[ \begin{align*} f(x) &= g(x) + u(x)\\ f(-x) &= g(-x) + u(-x) = g(x) + (-u(x)). \end{align*} \]

Daraus folgt die Aufteilung \[ \begin{align*} g(x) &= \frac{f(x) + f(-x)}{2}\\ u(x) &= \frac{f(x) - f(-x)}{2}. \end{align*} \]

Wir können leicht erkennen, dass \(g(x)\) auf diese Art immer gerade und \(u(x)\) immer ungerade ist. Wenden wir dies auf die Exponentialfunktion an, lassen sich die hyperbolischen Funktionen definieren:

Die hyperbolischen Funktionen sind stetig, da die Exponentialfunktion stetig ist.

Wir werden an dieser Stelle noch nichts zu den hyperbolischen Funktionen beweisen, da die Beweise alle recht einfach aus der Definition folgen und sich gut als Übung eignen. An dieser Stelle sollten Sie die Funktionen nur einmal gesehen haben und mit dem geraden und ungeraden Anteil der Exponentialfunktion in Verbindung bringen. Hier eine kleine Auswahl an Zusammenhängen:

Die komplexe Exponentialfunktion

Analog zur Definition der reellen Exponentialfunktion können wir die komplexe Exponentialfunktion über die komplexe Exponentialreihe definieren:

Offensichtlich sind die reelle und komplexe Exponentialfunktion für reelle Argumente identisch, weswegen wir dieselbe Abkürzung (\(\exp\)) verwenden. Da die Reihe für beliebige \(z \in \C\) konvergiert, ist die komplexe Exponentialfunktion wohldefiniert. Wir können fast alle Eigenschaften der Exponentialfunktion auch im Komplexen anwenden. Aber \(\exp(z) > 0\) sowie die Monotonie lassen sich im Komplexen nicht folgern, da die komplexen Zahlen kein geordneter Körper sind.

Die komplexe Exponentialfunktion ist die wohl wichtigste komplexe Funktion, welche an zahlreichen Stellen in Naturwissenschaften und Technik auftaucht. Sie beschreibt, wie wir noch zeigen werden, allgemeine Schwingungen. Auch Funktionen, die Sie eventuell mit Schwingungen assoziieren (Sinus und Cosinus) lassen sich auf die komplexe Exponentialfunktion zurückführen.

Wir haben gezeigt, dass wir die komplexe Konjugation einer Summe oder eines Produktes in die einzelnen Summanden/Faktoren ziehen können. Damit ergibt sich mit \(z = a + \i b\) für \(a,b \in \R\): \[\overline{e^z} = e^\overline{z} = e^{a - \i b} .\]

Für den Betrag der komplexen Exponentialfunktion ergibt sich demnach \[ \abs{e^z} = \sqrt{e^z \overline{e^z}} = \sqrt{e^{a + \i b} e^{a - \i b}} = \sqrt{e^{2a}} = e^a . \]

Der Betrag eines Funktionswerts \(e^z\) entspricht also der reellen Exponentialfunktion des Realteils von \(z\). Im nächsten Abschnitt beschäftigen wir uns mit rein imaginären Argumenten der Exponentialfunktion, also \(z = \i x, x \in \R\). Hierfür ergibt sich nach der vorigen Betrachtung \[\abs{e^{\i x}} = e^0 = 1.\]

Funktionswerte für rein imaginäre Argumente liegen also auf dem Einheitskreis (mit Radius \(1\)) in der komplexen Ebene. Wir werden im folgenden Abschnitt den Real- und Imaginärteil dieser Funktionswerte genauer betrachten.

Trigonometrische Funktionen

Wir kombinieren nun unser Wissen aus den zwei vorangegangenen Kapiteln. Aus der Schule kennen Sie vielleicht die Darstellung der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis: Der \(x\)-Wert zu einem Punkt auf dem Einheitskreis ist der Cosinus des entsprechenden Winkels, und der dazugehörige \(y\)-Wert ist der Sinus. Etwas Ähnliches machen wir nun auch in der komplexen Ebene: Hier ist der \(x\)-Wert der Realteil und der \(y\)-Wert der Imaginärteil eines Funktionswertes der komplexen Exponentialfunktion.

Hierbei wurde ausgenutzt, dass für den Realteil \(a = \Re{z}\) einer komplexen Zahl \(z = a + \i b\) gilt \(a = (z + \overline{z})/2\), sowie für den Imaginärteil: \(b = \Im{z} = (z - \overline{z})/(2\i)\). Sinus und Cosinus sind stetig, da sie sich aus der stetigen Exponentialfunktion ergeben. Vermutlich fällt Ihnen die große Ähnlichkeit zu den hyperbolischen Funktionen auf, tatsächlich gilt \(\cosh(\i x) = \cos(x)\) und \(\sinh(\i x) = \i\sin(x)\). Wir können für die trigonometrischen Funktionen ähnliche Eigenschaften nachweisen, wie für die hyperbolischen Funktionen:

Die letzten beiden Erkenntnisse des Satzes gehören zu einer Reihe sogenannter Additionstheoreme. Diese sind in der Schule nur sehr schwer nachvollziehbar, lassen sich aber hier recht einfach aus der Darstellung über die komplexe Exponentialfunktion herleiten. Die Eigenschaft (b) ist im Grunde der Satz des Pythagoras. Die bekanntere Form \(a^2 + b^2 = c^2\) für ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten \(a,b\) und Hypotenuse \(c\) ergibt sich, wenn man das Dreieck aus der letzten Demo um den Faktor \(c\) vergrößert (siehe nachfolgende Abbildung).

Wir können über die Reihendarstellung nun die ungefähre Lage bestimmter Funktionswerte auf dem Einheitskreis berechnen. So gilt beispielsweise \[ \cos(1) \;=\; 1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{6!} + \frac{1}{8!} - \frac{1}{10!} + \ldots \;=\; \underbrace{1 - \frac{1}{2!}}_{>0} + \underbrace{\frac{1}{4!} - \frac{1}{6!}}_{>0} + \underbrace{\frac{1}{8!} - \frac{1}{10!}}_{>0} + \ldots > 0 \] und \[ \sin(1) \;=\; \frac{1}{1!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} - \frac{1}{7!} + \frac{1}{9!} - \frac{1}{11!} + \ldots \;=\; \underbrace{\frac{1}{1!} - \frac{1}{3!}}_{>0} + \underbrace{\frac{1}{5!} - \frac{1}{7!}}_{>0} + \underbrace{\frac{1}{9!} - \frac{1}{11!}}_{>0} + \ldots > 0 . \]

Damit sind sowohl Sinus als auch Cosinus für \(x = 1\) positiv und \(e^\i\) liegt im ersten Quadranten auf dem Einheitskreis. Wir haben bereits in auto die Vermutung formuliert, dass das Produkt zweier komplexer Zahlen einer Drehung in der komplexen Ebene entspricht. Demnach müsste der Wert von \(e^{2\i} = e^\i \cdot e^\i\) doppelt so weit von der reellen Achse aus gedreht sein wie \(e^\i\). Trotzdem hilft uns das nicht wirklich weiter, ohne die Lage eines Punktes (außer \(x = 0\)) genau zu kennen. Ähnlich wie auch schon bei der reellen Exponentialfunktion, bei der wir die Eulersche Zahl einfach als \(\exp(1)\) definiert haben (ohne den Wert genau zu kennen), werden wir nun hier einen Punkt der komplexen Exponentialfunktion (genauer gesagt ihres Realteils, also der Cosinusfunktion) festlegen. Damit definieren wir eine zweite sehr wichtige mathematische Konstante, die Kreiszahl \(\pi\). Wie bei der Eulerschen Zahl müssen wir dafür den genauen Wert von \(\pi\) gar nicht kennen und werden trotzdem viele wichtige Schlüsse für die trigonometrischen Funktionen daraus ableiten. Für die Definition von \(\pi\) beweisen wir zunächst zwei nützliche Abschätzungen.

Solche Abschätzungen ergeben sich häufig für alternierende Reihen und sind sehr nützlich, um den Reihengrenzwert abzuschätzen. Dies nutzen wir im folgenden Satz:

Da wir nun wissen, dass genau eine Nullstelle in diesem Intervall existiert, können wir dieser einen Namen geben: \(\pi/2\). Darüber definiert sich die berühmte Kreiszahl. Wir werden später noch zeigen, dass \(\pi\) auch das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises beschreibt, womit die Konstante normalerweise assoziiert wird. An dieser Stelle würde uns die Kreisumfangdefinition jedoch nicht weiterhelfen, weswegen wir diese (für Sie vielleicht etwas ungewöhnlich wirkende) Definition wählen.

Wir bezeichnen Vielfache und Teile von \(\pi\), wie \(2\pi\) oder \(0.2\pi\) auch als Winkel im Bogenmaß. Wir können diese außerdem in das im Alltag gebräuchlichere Gradmaß umrechnen. Wenn \(x\) ein Winkel im Bogenmaß ist, dann ist der entsprechende Gradmaßwinkel \(180 x/\pi\). Zur Verdeutlichung schreiben wir einen kleinen Kreis an den Winkel im Gradmaß, also z.B. \(360^\circ\).

Obwohl wir den Wert von \(\pi\) noch nicht genau kennen (wir wissen bisher, dass \(1 < \pi/2 < 2\), denn wir haben gezeigt, dass \(\cos(1) > 0\) und \(\cos(2) < 0\) gilt), können wir damit jetzt für Vielfache und Teile von \(\pi\) die Sinus und Cosinusfunktionswerte bestimmen:

Ein Nebenprodukt des letztes Satzes ist die Formel, die von Mathematiker*innen zur “schönsten Formel der Welt” gekürt wurde: \[e^{\i\pi} + 1 = 0.\] Diese Formel enthält immerhin fünf der wichtigsten mathematischen Konstanten: das Nullelement, das Einselement, die Eulersche Zahl, die imaginäre Einheit und die Kreiszahl. In der folgenden Demo wird diese Formel benutzt, um einen anschaulichen Zusammenhang zwischen unserer Definition von \(\pi\) und der herkömmlichen Variante über den Kreisumfang herzustellen.

Wegen der letzten beiden Eigenschaften des vorigen Satzes sind Sinus und Cosinus (und Tangens und die komplexe Exponentialfunktion) sogenannte periodische Funktionen:

\(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) haben also die Periode \(2\pi\). Zuletzt geben wir noch alle Nullstellen der Sinus und Cosinusfunktion an:

Wenn wir Sinus, Cosinus und Tangens jeweils auf ein Gebiet einschränken, auf dem sie streng monoton sind, also zum Beispiel \(\cos : [0,\pi] \to [-1,1]\), können wir jeweils Umkehrfunktionen definieren. Diese nennt man Arcussinus \(\arcsin(x)\), Arcuscosinus \(\arccos(x)\) und Arcustangens \(\arctan(x)\). Oft werden sie auch mit \(\mathrm{asin}(x)\), \(\mathrm{acos}(x)\) und \(\mathrm{atan}(x)\) bezeichnet. Mit den Eigenschaften dieser Funktionen werden wir uns in den Übungen beschäftigen.

Die Polarkoordinaten komplexer Zahlen

Als Nebenprodukt aus den Erkenntnissen des letzten Kapitels können wir noch eine alternative Schreibweise für komplexe Zahlen einführen, mit welcher sich manche Rechnungen deutlich vereinfachen lassen. Wir hatten bei der Einführung komplexer Zahlen bereits gezeigt, dass wir jede komplexe Zahl \(z\) als \(z = \abs{z} \hat{z}\) für ein \(\hat{z} \in \set{z \in \C \mid \abs{\hat{z}} = 1}\). Damit liegt \(\hat{z}\) in der komplexen Eben auf dem Einheitskreis und es gibt ein \(\phi \in \R\) mit \[ z = \abs{z} e^{\i\phi} = r e^{\i\phi}. \] Damit können wir komplexe Zahlen über einen Radius (Abstand zum Ursprung \((0,0)\)) und einen Winkel zur reellen Achse \(\phi\) dargestellen. Dies zeigen wir einmal formal mit folgendem Satz.

Hieraus ergibt sich endlich ein simpler Beweis für unsere Vermutung, dass die Multiplikation komplexer Zahlen einer Drehung entspricht, wobei sich die Beträge multiplizieren und die Winkel addieren: \[ z_1 \cdot z_2 = \abs{z_1} e^{\i\phi_1} \cdot \abs{z_2} e^{\i\phi_2} = \abs{z_1 \cdot z_2} e^{\i(\phi_1 + \phi_2)}. \]

Ein weiteres Anwendungsbeispiel ist die deutliche Vereinfachung der Bestimmung komplexer Wurzeln und Potenzen.

Differentialrechnung

Nachdem wir bis zu diesem Punkt viel Vorarbeit geleistet haben, um Funktionen mathematisch genau zu beschreiben, können wir uns in diesem und dem folgenden Kapitel dem Herzen der Analysis zuwenden: der Differential- und Integralrechnung. Hierbei benötigen wir erneut Grenzwerte, denn in beiden Fällen spielen unendlich kleine Abstände eine entscheidende Rolle.

Die Differentialrechnung geht auf Leibniz und Newton zurück und ist die Basis für Differentialgleichungen, mit denen sich viele Vorgänge in der Natur und in technischen Systemen modellieren lassen. Darüber hinaus wird sie benutzt, um Funktionen zu optimieren, also einen Punkt \(x\) des Definitionsbereichs zu finden, an dem der Funktionswert \(f(x)\) maximal groß oder klein wird. Solche Optimierungen kommen in allen Naturwissenschaften und auch in der Informatik sehr häufig vor, da es oft einfacher ist, eine Funktion zu definieren, deren Optimum eine bestimmte Eigenschaft hat, als das Optimum direkt anzugeben.

Wir betrachten in diesem Kapitel die Differentialrechnung mit einer Veränderlichen, wie sie auch in der Schule behandelt wird. Nach einer generellen Einführung leiten wir die Ableitungsregeln her, führen höhere Ableitungen ein und nutzen schließlich die Ableitungen, um diverse Eigenschaften von Funktionen zu analysieren.

Differenzierbarkeit

In der Differentialrechnung arbeiten wir mit sogenannten Ableitungen von Funktionen. Wir werden feststellen, dass die Stetigkeit einer Funktion nicht ausreicht, um eine Ableitung bestimmen zu können. Man könnte sagen, stetige Funktionen sind noch nicht “gutmütig” genug. Deswegen wurde der Begriff der Differenzierbarkeit eingeführt, der die Existenz einer Ableitung sicherstellt.

Wenn wir uns zurückerinnern, hatte die Stetigkeit einer Funktion salopp bedeutet, dass ähnliche \(x\)-Werte auch ähnliche Funktionswerte besitzen, die Funktion also nicht plötzlich springt. Dies erlaubt es uns, den Graphen einer Funktion durchgängig zu zeichnen. Kennen wir also einen Punkt einer stetigen Funktion, wissen wir auch, dass es weitere Punkte der Funktion in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes gibt. Die Differenzierbarkeit erweitert dieses Wissen, indem sie uns eine Aussage darüber erlaubt, in welcher “Richtung” die benachbarten Punkte auf der Funktion liegen. Diese Richtung kann man sich mithilfe einer Tangente an einem Funktionspunkt visualisieren:

Es gibt Funktionen, die zwar stetig sind, aber deren Graph einen “Knick” besitzt, hier ist es nicht möglich eine klare Richtung (in Form einer Tangente) für die Lage umliegender Punkte anzugeben, da es zwei verschiedene Möglichkeiten für die Richtung gibt. Genau diese “Knickfreiheit” ist mit der Differenzierbarkeit einer Funktion gemeint.

Als Newton und Leibniz den Ableitungsbegriff entwickelten, hat man sich die Bestimmung einer Ableitung in etwa so vorgestellt: Man möchte wissen, wie sich die Funktionswerte \(f(x)\) verändern, wenn wir \(x\) um ein winzig kleines Stück \(dx\) verändern. Für eine lineare Funktion, wie zum Beispiel \(f(x) = 5x\) ergibt sich \[ \begin{align*} f(x + dx) \;&=\; 5(x + dx) \\ \;&=\; 5x + 5\cdot dx \\ \;&=\; f(x) + 5\cdot dx. \end{align*} \] Das heißt, wenn wir den \(x\)-Wert um ein kleines Stück vergrößern, dann nimmt der Funktionswert um das Fünffache dieses Wertes zu, die Änderungsrate der Funktion ist also \(5\).

Für eine nichtlineare Funktion, wie zum Beispiel \(f(x) = x^2\), ergibt sich mit der gleichen Überlegung \[ \begin{align*} f(x + dx) \;&=\; x^2 + 2x\cdot dx + (dx)^2 \\ \;&=\; f(x) + 2x\cdot dx + (dx)^2 \\ \;&\approx\; f(x) + 2x\cdot dx. \end{align*} \]

Die Idee der Begründer der “Infinitesimalrechnung” (wie die Differential- und Integralrechnung zusammenfassend genannt wird) war, dass \(dx\) so klein gewählt wird, dass höhere Potenzen von \(dx\), wie zum Beispiel \((dx)^2\), vernachlässigbar klein sind und wir somit sagen können: Wenn wir \(x\) um ein kleines Stück \(dx\) vergrößern, dann vergrößert sich der Funktionswert um das \(2x\)-fache von \(dx\). Die Änderungsrate der Funktion am Punkt \(x\) ist also \(2x\). Das Vernachlässigen des \((dx)^2\)-Terms löste in der Mathematik damals große Debatten aus, denn es wirkte so, als würde man nicht exakt arbeiten, sondern eher runden.

Sehen wir uns als letztes Beispiel noch \(f(x) = x^n\) an: \[ \begin{align*} f(x + dx) \;&=\; (x + dx)^n \\ \;&=\; \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k}(dx)^k \\ \;&=\; x^n + nx^{n-1}dx + \frac{n(n+1)}{2}x^{n - 2}(dx)^2 + \ldots + (dx)^n \\ \;&\approx\; f(x) + nx^{n-1}dx \end{align*} \] Hier ergibt sich also eine Veränderung, die ein \(\left(nx^{n-1}\right)\)-faches von \(dx\) ist.

Was den Mathematiker*innen damals fehlte und weswegen diese Rechnungen in der damaligen Zeit recht “unmathematisch/ungenau” wirkten, war ein sauber definierter Grenzwertbegriff. Mit dem Vorwissen aus den vorigen Kapiteln fällt Ihnen vermutlich auf, dass sich die gewohnten Ableitungen ergeben, wenn wir für \[ \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \] in den Rechnungen zuvor der Grenzwert (\(dx \to 0\)) betrachten. Man verwendet den Ausdruck \(dx\) mittlerweile nicht mehr, sondern benutzt stattdessen normalerweise eine kleine Änderung \(h\). Allerdings sieht man das \(dx\) noch in der Schreibweise der Ableitung \(\frac{df(x)}{dx}\), auch wenn in der Schule häufiger \(f'\) geschrieben wird. Das \(d\) steht hierbei immer für eine unendlich kleine Differenz der Funktionswerte \(\left(df(x)\right)\) bzw. der Argumente \(\left(dx\right)\).

In der obigen Definition bedeutet \(\lim\limits_{\substack{x \to a\\ x \in A\setminus\set{a}}}\), dass \(x\) gegen \(a\) geht, dabei aber nur Werte aus \(A\setminus\set{a}\) annimmt, damit wir nicht durch \(0\) teilen.

Zur Erinnerung: Ein Grenzwert existiert nur dann, wenn er eine reelle Zahl ist. Ein Grenzwert von \(f'(a) = \pm \infty\) bedeutet also, dass der Grenzwert nicht existiert.

Man kann die Grenzwertbildung in der Definition der Ableitung auch geometrisch interpretieren. Dabei entspricht \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) der Steigung der Sekante des Graphen von \(f\) im Punkt \((a, f(a))\). Beim Grenzübergang geht die Sekante in die Tangente im Punkt \(a\) über, welche die Tangentengleichung \(f(a)+f'(a)(x-a)\) hat. In den folgenden beiden Demos können Sie mit der graphischen Interpretation der Ableitung experimentieren.

Die Ableitung einer Funktion hat in Naturwissenschaften und Technik eine wichtige Bedeutung, da sie die momentane Änderungsrate einer Funktion angibt. Zum Beispiel gibt die Ableitung einer Funktion, welche den Ort eines Objektes in Abhängigkeit zur Zeit beschreibt, die Geschwindigkeit des Objektes an.

Differenzierbarkeit stellt eine stärkere Forderung an eine Funktion dar als die Stetigkeit, denn aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit, wie der folgende Satz zeigt.

Die Umkehrung von auto gilt nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.

Für Funktionen, die aus zwei Teilstücken bestehen, eignet sich analog zu auto der folgende Satz, bei dem wir die Differenzierbarkeit auf rechts- und linksseitige Grenzwerte zurückführen.

Früher dachte man, dass die nicht differenzierbaren Stellen einer Funktion immer nur einzelne Punkte betreffen können, eine stetige Funktion aber dazwischen immer stückweise differenzierbar ist. Einen Gegenbeweis liefern die sogenannten Weierstraß-Funktionen, die in jedem Punkt stetig, aber in keinem Punkt differenzierbar sind. Ein Beipiel wäre die Funktion \[ f(x) = \sum^\infty_\limits{k = 0}{a^k \cos(b^k\pi x)} \] mit \(0 < a < 1\) und \(ab \geq 1\). Graphisch haben solche Funktionen eine fraktale Struktur. Wenn wir also näher an den Graphen heranzoomen, zeigt sich wieder der gleiche Verlauf der Funktion, wie auf einer größeren Skala, wie das folgende Bild zeigt:

Zur Berechnung der Ableitung einer Funktion ist die auto nur in einfachen Fällen praktikabel. Für komplexere Funktionen kann die damit verbundene Grenzwertberechnung schnell sehr aufwendig werden. Daher leiten wir nun ein paar Ableitungsregeln her, mit denen wir viele Ableitungen auf schon bekannte elementare Fälle zurückführen können.

Die folgenden beiden Sätze führen Regeln zur Bestimmung der Ableitung von Umkehrfunktionen und verketteten Funktionen ein.

Mit dem letzten Beispiel ergeben sich insbesondere die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.

Die Idee der Ableitung einer Funktion kann rekursiv angewendet werden, indem man die Ableitung der Ableitung bildet, sofern diese existiert. Dies führt zu folgender Definition höherer Ableitungen.

Man schreibt auch \(\displaystyle \frac{d^k f(a)}{dx^k}\) für die \(k\)-te Ableitung von \(f\) im Punkt \(a\).

Lokale Extrema

Wir wollen nun mit Hilfe der Ableitungen von Funktionen deren Eigenschaften analysieren. Dazu wird eine Reihe von Sätzen hergeleitet, die das Verhalten von Funktionen auf Intervallen beschreiben. Zuerst definieren wir den Begriff des lokalen Extremums.

Extremum ist der Oberbegriff für Minimum und Maximum. Wir nennen diese Extrema lokal, weil z.B. ein lokales Maximum nur in einer gewissen Umgebung das Maximum aller in dieser Umgebung liegenden Funktionswerte ist. An einer anderen Stelle könnte die Funktion noch ein weiteres, größeres Maximum besitzen, oder sogar nach oben unbeschränkt sein. Wir werden Bedingungen für lokale Extrema herleiten, da diese auf Basis der Ableitung, die das Verhalten einer Funktion in der Umgebung eines Punktes beschreibt, bestimmt werden können. Das Maximum/Minimum aller Funktionswerte einer Funktion nennt man globales Minimum/Maximum. Der \(x\)-Wert, in dem das Extremum angenommen wird, bezeichnet man auch als Extremstelle. Die Bestimmung globaler Extrema ist nur in bestimmten Funktionsklassen möglich und geht über den Inhalt dieser Vorlesung hinaus.

Genau genommen ist für konstante Funktionen \(f(x) = c\), \(c \in \R\), jeder Punkt ein lokales Minimum und ein lokales Maximum. In manchen Lehrbüchern wird daher zusätzlich der Begriff des strengen lokalen Extremums eingeführt, bei dem man in der obigen Definition \(\leq\) durch \(<\) bzw. \(\geq\) durch \(>\) ersetzt. Wir werden in den Beweisen darauf hinweisen, aber ansonsten immer nur von lokalen Extrema sprechen.

Die Umkehrung des letzten Satzes gilt nicht. An einer Stelle \(c\) mit \(f'(c) = 0\) muss also nicht zwangsweise ein lokales Extremum liegen (Mathematiker*innen sagen, die Bedingung ist nicht hinreichend). Die folgende Abbildung zeigt die graphische Interpretation des Satzes: An einem lokalen Extremum (in der Abbildung bei \(c_1\)) hat die Tangente eine Steigung von \(0\), verläuft also parallel zur \(x\)-Achse. Allerdings erfüllt die gezeigte Funktion auch an einer anderen Stelle \(c_2\) die Bedingung \(f'(c_2) = 0\), an der jedoch kein Extremum vorliegt.

Im letzten Satz ist zu beachten, dass wir die Funktion \(f\) über dem offenen Intervall \((a,b)\) untersucht haben. Wenn wir \(f: [a,b] \to \R\) untersuchen und ein Minimum oder Maximum in einem der beiden Randpunkte angenommen wird, so ist dort die erste Ableitung nicht notwendigerweise gleich \(0\), wie man sich leicht überlegen kann.

Die nun folgenden Sätze beschäftigen sich mit dem Verhalten von Funktionen in Intervallen, wenn Informationen über die Randpunkte vorliegen. Wir betrachten dabei oft Funktionen, die auf dem abgeschlossenen Intervall \([a,b]\) definiert sind und im offenen Intervall \((a,b)\) differenzierbar sind. Damit ist \(f'(x)\) nur für \(x \in (a,b)\) definiert.