In diesem Exkurs geben wir ein paar grundlegende Definitionen und Sätze für Matrizen an, die wir für die mehrdimensionale Analysis benötigen. Deren ausführliche Einführung ist Thema der linearen Algebra (MafI1).
Für \(m, n \in \N\) bezeichnen wir die rechteckige Anordnung von reellen Zahlen in \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten als \((m \times n)\)-Matrix: \[ \mat{A} \;=\; \matrix{ A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & \cdots & A_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} } \; \in \R^{m \times n} . \]
Das Element in der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte für \(i \in \set{1, \dots, m}\) und \(j \in \set{1, \dots, n}\) bezeichnen wir mit \(A_{i,j}\) oder \(\left( \mat{A} \right)_{i,j}.\)
Eine Matrix \(\mat{A} \in \R^{n \times n}\) bezeichnen wir als quadratisch.
- \(\mat{A} = \matrix{ 1 & 2 & 5 & 3\\ 2 & -3 & 0 & 0 \\ 1.5 & 2 & 2 & 1}\) ist eine \((3 \times 4)\)-Matrix, mit z.B. \(A_{1,3} = 5\).
- \(\mat{B} = \matrix{1 & -1 \\ 2 & 0}\) ist eine quadratische \((2 \times 2)\)-Matrix, mit z.B. \(B_{2,2} = 0\).
- \(\vec{x} = \vector{1 \\ 2 \\ 0}\) ist ein (Spalten-)Vektor (\(\vec{x} \in \R^3\)) und eine \((3 \times 1)\)-Matrix (\(\vec{x} \in \R^{3 \times 1}\)).
- \(\vec{y} = \vector{1 & -1}\) ist ein Zeilenvektor und eine \((1 \times 2)\)-Matrix (\(\vec{y} \in \R^{1 \times 2}\)).
- \(a = 73\) ist ein Skalar (\(a\in\R\)) und eine \((1 \times 1)\)-Matrix (\(a \in \R^{1 \times 1}\)).
Wie Vektoren können wir Matrizen mit gleicher Spalten- und Zeilenanzahl addieren und mit einem Skalar multiplizieren: \((m \times n)\)-Matrizen bilden einen Vektorraum. Eine weitere Operationen ist das Transponieren:
Für eine Matrix \(\mat{A} \in \R^{m \times n}\) definieren wir die Transponierte der Matrix \[ \mat{M}\T \in \R^{n \times m} \quad\text{mit}\quad \left( \mat{M}\T \right)_{i,j} \mathrel{:=} \left( \mat{M} \right)_{j,i} \]
Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn sie identisch zu ihrer Transponierten ist, d.h., \(\mat{A} = \mat{A}\T\).
Für \(\mat{A} = \matrix{1 & 2 & 5 & 3 \\ 2 & -3 & 0 & 0 \\ 1.5 & 2 & 2 & 1}\) ist \(\mat{A}\T = \matrix{1 & 2 & 1.5 \\ 2 & -3 & 2 \\ 5 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 1}.\)
Für \(\mat{A} = \matrix{1 & -1 \\ 2 & 0}\) ist \(\mat{A}\T = \matrix{1 & 2 \\ -1 & 0}.\)
Für \(\vec{x} = \vector{1 \\ 2 \\ 0}\) ist \(\vec{x}\T = (1, 2, 0)\).
Eine besonders wichtige Operation ist Produkt zweier Matrizen:
Für zwei Matrizen \(\mat{A} \in \R^{m \times l}\) und \(\mat{B} \in \R^{l \times n}\) ist das Matrixprodukt \(\mat{A}\mat{B} \in \R^{m \times n}\) definiert als \[ \left( \mat{A}\mat{B} \right)_{i,j} \;\mathrel{:=}\; \sum_{k=1}^l A_{i,k} B_{k,j} \quad\text{für}\quad i\in\set{1, \dots, m} ,\; j\in\set{1,\dots,n} . \]
Für \(\mat{A} = \matrix{ 1 & -1 \\ 2 & 0 }\) und \(\mat{B} = \matrix{ -3 & 5 \\ 4 & 10 }\) ist \[ \mat{A} \mat{B} \;=\; \matrix{ 1 \cdot (-3) + (-1) \cdot 4 & 1 \cdot 5 + (-1) \cdot 10 \\ 2 \cdot (-3) + 0 \cdot 4 & 2 \cdot 5 + 0 \cdot 10 } \;=\; \matrix{ -7 & -5 \\ -6 & 10 } . \]
Für \(\mat{A} = \matrix{ -3 & 5 & 1 \\ 4 & 10 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\) und \(\vec{B} = \vector{ 1 \\ 0 \\ -2 }\) ist \[ \mat{A}\vec{B} \;=\; \vector{ -3 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 1 + 10 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) } \;=\; \vector{-5 \\ 4 \\ 1} . \]
Die Definition oben verinnerlicht man nur, wenn man das Matrixprodukt an vielen Beispielen übt. Man kann es auch als Skalarprodukt der \(i\)-ten Zeile von \(\mat{A}\) mit der \(j\)-ten Spalte von \(\mat{B}\) auffassen. Andersherum kann man auch das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren als Matrixprodukt auffassen: \[ \vec{x}\cdot\vec{y} \;=\; \vec{x}\T\vec{y} \;=\; \sum_{k=1}^n \left( \vec{x}\T \right)_{1,k} \left( \vec{y} \right)_{k,1} \;=\; \sum_{k=1}^n \left( \vec{x} \right)_{k,1} \left( \vec{y} \right)_{k,1} \;=\; x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n . \] Beachten Sie, dass die Matrix-Multiplikation nicht kommutativ ist, es gilt also im Allgemeinen \(\mat{A}\mat{B} \neq \mat{B}\mat{A}\) (je nach Dimensionen kann es sogar sein, dass eines der Beiden gar nicht definiert ist). Beim Transponieren eines Matrixproduktes gilt \((\mat{A}\mat{B})\T = \mat{B}\T\mat{A}\T\), das Transponieren vertauscht also die beiden Faktoren des Matrixprodukts.
Determinanten
Wir definieren für eine Matrix \(\mat{A} \in \R^{n \times n}\) die Untermatrix \(\mat{A}^{(ij)} \in \R^{n-1 \times n-1}\), die dadurch entsteht, dass wir die \(i\)-te Zeile und \(j\)-te Spalte von \(\mat{A}\) weglassen.
Die Determinante von \(\mat{A} \in \R^{n \times n}\) ist eine Abbildung \(\det{\,\cdot\,}: \R^{n \times n} \to \R\), die wir rekursiv definieren:
- Für \(n = 1\) ist \(\mat{A} = a \in \R\) und \(\det{\mat{A}} \mathrel{:=} a.\)
- Für \(n \geq 2\) ist \[\det{\mat{A}}:= \sum_{k=1}^n (-1)^{k + 1} A_{1k} \,\det{\mat{A}^{(1k)}}.\]
Die allgemeine Determinantenformel sieht einschüchternder aus, als sie ist. Für diese Vorlesung genügt es, wenn Sie sich die Fälle \(n = 2\) und \(n = 3\) merken. Hier kann man sich explizite Formeln herleiten.
Für eine Matrix \(\mat{A} = \matrix{ a & b \\ c & d} \in \R^{2 \times 2}\) ergibt sich die Determinantenformel \[ \det{\mat{A}} = ad - cb. \]
Für eine Matrix \(\mat{A} = \matrix{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i} \in \R^{3 \times 3}\) ergibt sich die Determinantenformel \[ \begin{align*} \det{\mat{A}} &= a\,\det{\matrix{e & f \\ h & i}} - b\,\det{\matrix{d & f \\ g & i}} + c\,\det{\matrix{d & e \\ g & h}}\\[0.5em] &= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh . \end{align*} \]
Für den \(n = 3\)-Fall gibt es zahlreiche Eselsbrücken, um sich die Formel leichter zu merken, wie die Sarrus-Regel, welche beispielsweise hier erläutert wird.
Definitheit einer Matrix
Die Bedeutung der Definitheit einer Matrix wird im Hauptskript deutlich. Hier geben wir daher nur kurz die Definition:
Wir nennen eine Matrix \(\mat{A} \in \R^{n \times n}\)
- positiv definit, wenn für alle \(\vec{x} \in \R^n\setminus \set{\vec{0}}\) gilt: \(\vec{x}\T \mat{A} \vec{x} > 0\)
- negativ definit, wenn für alle \(\vec{x} \in \R^n\setminus \set{\vec{0}}\) gilt: \(\vec{x}\T \mat{A} \vec{x} < 0\)
- indefinit, wenn \(\vec{x}, \vec{y} \in \R^n\setminus \set{\vec{0}}\) existieren mit \(\vec{x}\T \mat{A} \vec{x} < 0\) und \(\vec{y}\T \mat{A} \vec{y} > 0.\)
Lässt man bei den beiden ersten Bedingungen auch Gleichheit zu, spricht man von positiver/negativer Semidefinitheit.
Die Definitheit einer Matrix ist eng mit ihren Eigenwerten verknüpft. Diese wollen wir hier allerdings nicht einführen. Stattdessen verwenden wir einen Satz, der die Definitheit einer Matrix auf auf die Berechnung von Determinanten zurückführt.
Sei \(\mat{A} \in \R^{n \times n}\) eine symmetrische Matrix (\(\mat{A}\T = \mat{A}\)). Wir konstruieren ein Menge rekursiver Untermatrizen durch schrittweises Streichen der letzten Zeilen und Spalten, also \[\mat{A}_n = \mat{A} \qquad \text{und} \qquad \mat{A}_{n-1} = \mat{A}_n^{(nn)}, \forall n \geq 2.\]
Dann ist \(\mat{A}\) genau dann
- positiv definit, wenn \(\det{\mat{A}_i} > 0\) für alle Untermatrizen \(\mat{A}_i\) gilt
- negativ definit, wenn \(\det{\mat{A}_i} > 0\) für alle Untermatrizen \(\mat{A}_i\) mit geradem Index \(i\) und \(\det{\mat{A}_i} < 0\) für alle Untermatrizen \(\mat{A}_i\) mit ungeradem Index \(i\) gilt.
Ist \(n\) gerade und \(\det{\mat{A}} < 0\), so ist \(\mat{A}\) indefinit.
Für die Matrix \[ \mat{A} = \mat{A}_4 = \matrix{ 1 & 0 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & 4 } \] können wir die Definitheit nicht mithilfe von auto bestimmen, da diese nicht symmetrisch ist.
Die Matrix \[ \mat{A} = \mat{A}_3 = \matrix{ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -5 & 0 \\ 1 & 0 & -1 } \] ist symmetrisch und die Determinante ist \(\det{\mat{A}_3} = -1 < 0\). Die nächstkleinere Untermatrix \(\mat{A}_2\) entsteht durch Streichen der letzten Zeile und Spalte, also \[ \mat{A}_2 = \matrix{-2 & 2 \\ 2 & -5} \] und somit ist \(\det{\mat{A}_2} = 6 > 0\). Die nächstkleinere Untermatrix \(\mat{A}_1\) entsteht durch erneutes Streichen der letzten Zeile und Spalte, also \[ \mat{A}_1 = \matrix{-2} \] und somit ist \(\det{\mat{A}_1} = -2 < 0\). Damit ist \(\mat{A}\) nach auto negativ definit.
Die Matrix \[\mat{A} = \mat{A}_2 = \matrix{1 & 2 \\ 2 & 1}\] ist symmetrisch, aber es ist \(\det{\mat{A}_2} = -1 < 0\), damit ist \(\mat{A}\) nach auto indefinit.
Die Matrix \[ \mat{A} = \mat{A}_3 = \matrix{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 } \] ist symmetrisch und die Untermatrizen sind \[ \mat{A}_2 = \matrix{1 & 0 \\ 0 & 4} \quad \text{und} \quad \mat{A}_1 = \matrix{1} \] mit \(\det{\mat{A}_3} = 20 > 0\), \(\det{\mat{A}_2} = 4 > 0\) und \(\det{\mat{A}_1} = 1 > 0.\) Damit ist \(\mat{A}\) nach auto positiv definit.