Exkurs Beweise

Den Nachweis der Richtigkeit einer Aussage auf Basis bekannter wahrer Aussagen nennt man Beweis. Wenn man noch gar keine Aussagen bewiesen hat, bleiben nur noch die Definitionen und Axiome übrig, auf die man sich beziehen kann. Da die Beweise in Kapitel 2 teilweise doch etwas abstrakt für den Einstieg sind, bauen wir hier einmal eine kleine Parallelwelt auf, in der wir die wichtigsten Beweistechniken an einfachen Definitionen und Sätzen zu verstehen lernen.

Nur für diesen Exkurs nehmen wir dazu die natürlichen Zahlen \(\N = \set{1,2,3, \ldots}\) zusammen mit den aus der Schule bekannten Rechenregeln für Gleichungen als bereits bewiesen bzw. axiomatisch festgelegt an. So dürfen wir auf beiden Seiten einer Gleichung beispielsweise die gleiche Zahl addieren/subtrahieren/multiplizieren/dividieren und dürfen Faktoren vertauschen und Ähnliches. Außerhalb des Exkurses, sollten selbst so grundlegende ‘Rechenregeln’ hinterfragt werden. Glauben Sie keiner mathematischen Regel, für die Sie noch keinen Beweis gesehen haben.

Für die nun folgenden Beweismethoden wollen wir uns Sätze über gerade und ungerade Zahlen ansehen. Dafür müssen wir diese zunächst definieren.

Wir definieren die Menge der geraden natürlichen Zahlen als \[ G = \set{m \with \exists k \in \N \,:\, m = 2k}\]
Wir definieren die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen als \[ U = \set{m \with \exists k \in \N \,:\, m = 2k - 1}\]
Wir sagen \(n \in \N\) ist eine gerade Zahl, wenn \(n \in G\).
Wir sagen \(n \in \N\) ist eine ungerade Zahl, wenn \(n \in U\).

Die Menge der geraden Zahlen besteht also aus allen natürlichen Zahlen, die das Doppelte von einer anderen natürlichen Zahl sind, also \(G = \set{2 = 2 \cdot 1,\,4 = 2 \cdot 2,\,6 = 2\ \cdot 3, \ldots } = \set{2,4,6,8,10,...}\). Die Menge der ungeraden Zahlen besteht aus \(U = \set{1 = 2 \cdot 1 - 1,\,3 = 2 \cdot 2 - 1,\,5 = 2\ \cdot 3 - 1, \ldots } = \set{1,3,5,7,9,...}\).

Im Folgenden werden wir ein paar einfache Eigenschaften der ungeraden und geraden Zahlen beweisen und dadurch die Beweistechniken besser kennen lernen. Dafür benötigen wir noch eine zweite Definition von Quadratzahlen, da wir Potenzen nicht als gegeben vorausgesetzt haben:

Für alle natürlichen Zahlen n, definieren wir \(n^2 := n\cdot n\) als die Quadratzahl von \(n\). Wir sagen alternativ auch das Quadrat von \(n\).

Direkter Beweis

Der direkte Beweis ist die am häufigsten eingesetzte Beweismethode. Hierbei nutzt man die Annahmen des Satzes und andere, bereits bewiesene Sätze und versucht die Behauptung des Satzes daraus abzuleiten. Betrachten wir also nun unseren ersten Satz und dessen Beweis.

Alle geraden natürlichen Zahlen haben gerade Quadratzahlen, oder kurz:

\[n \in G \Rightarrow n^2 \in G\]

Im auto nehmen wir an, dass \(n\) gerade ist. Laut auto bedeutet das, dass wir \(n\) schreiben können als \(n = 2k\) mit \(k \in \N\).

Nun sehen wir uns an, was wir folgern wollen: \(n^2\) soll ebenfalls gerade sein. Also müssen wir, wieder nach der Definition, zeigen, dass eine natürliche Zahl \(k'\) existiert mit \(n^2 = 2k'\). Wir dürfen hier nicht wieder \(k\) verwenden, weil wir sonst damit annehmen würden, dass \(n\) und \(n^2\) dasselbe \(k\) besitzen. Wenn es uns gelingt, aus den Voraussetzungen und Axiomen zu schlussfolgern, dass solch ein \(k'\) existiert, ist der Satz bewiesen.

Setzen wir die Voraussetzungen ein, erhalten wir:

\[n^2 = (2k)^2 = (2k)\cdot(2k) = 2\cdot (k\cdot 2k) = 2k'\]

Alle Umformungen in der obigen Gleichungskette kennen Sie vermutlich aus der Schule und würden diese nicht anzweifeln. Wie bereits gesagt, für diesen Exkurs nehmen wir diese ‘Schulumformungen’ als gültig an, aber normalerweise würde man für jede Umformung angeben, wonach diese gilt. Zur Verdeutlichung schreiben wir hier an jeder Stelle, an der wir eine dieser Grundregeln anwenden das Kürzel (GR), damit Ihnen klar ist, dass dieser Schritt in einem richtigen Beweis begründet werden müsste. In Kapitel 2 werden wir für jeden Schritt immer genau hinterfragen, aus welchem zuvor bewiesenen Satz oder Axiom dieser folgt. Natürlich führen wir die Beweise nur am Anfang so ausführlich. Schritte wie diese Grundregeln sind irgendwann so offensichtlich, dass wir nach Kapitel 2 nicht jedes Mal mehr begründen werden. Zusammengefasst würde der komplette direkte Beweis dann wie folgt aussehen:

Zu zeigen: \[n \in G \Rightarrow n^2 \in G\]

Beweis:

\[ \begin{align*} n \in G &\Rightarrow n = 2k\text{, mit } k \in \N & (\text{Def. 1.1})\\ &\Rightarrow n^2 = (2k)^2 = (2k)(2k) = 2(2k^2) & (\text{GR})\\ &\Rightarrow n^2 \text{ ist gerade}. & (\text{Def. 1.1}) \end{align*} \]

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Am Ende des Beweises gönnt sich der Mathematiker ein kleines Quadrat, um seine Freude über den gelungenen Beweis auszudrücken. Alternativ liest man auch öfter q.e.d. (quod erat demonstrandum) von Mathematikern, die mit ihren Lateinkenntnissen angeben wollen oder auch wzbw/wzzw (was zu beweisen/zeigen war).

Betrachten wir ein weiteres Beispiel für einen Satz und dessen direktem Beweis:

Die Summe zweier gerader Zahlen ist gerade:

\[n,m \in G \Rightarrow n + m \in G\]

Aus \(n, m \in G\) folgt nach auto, dass wir beide jeweils schreiben können als \(n = 2k_n\) und \(m = 2k_m\) mit \(k_n, k_m \in \N\). Für die Summe gilt also:

\[n + m = 2k_n + 2k_m = 2(k_n + k_m),\] Hierbei wurde erst wieder auto angewendet, und dann wieder eine unserer ‘Grundregeln’ (Distributivgesetz). Damit folgt direkt, dass \(n + m\) nach auto gerade ist, da \(k' = k_n + k_m\) eine natürliche Zahl ist und damit \(n + m = 2k'\).

Noch einmal sauber aufgeschrieben:

Zu zeigen: \[n,m \in G \Rightarrow n + m \in G\]

Beweis:

\[ \begin{align*} n,m \in G &\Rightarrow n = 2k_n \and m = 2k_m \text{, mit } k_m, k_n \in \N & (\text{Def. 1.1})\\ &\Rightarrow n + m = 2k_n + 2k_m = 2(k_n + k_m) & (\text{GR})\\ &\Rightarrow (n + m) \text{ ist gerade}. & (\text{Def. 1.1}) \end{align*} \]

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Widerspruchsbeweis

Unseren nächsten Satz beweisen wir per Widerspruch.

2 ist die kleinste gerade Zahl

\(2\) ist wegen \(2 = 2 \cdot 1\) eine gerade Zahl. Noch zu zeigen ist, dass es keine kleinere gerade (natürliche) Zahl gibt. Bei einem Widerspruchsbeweis nehmen wir das Gegenteil der Aussage (die negierte Aussage) an und führen dies zu einem Widerspruch.

Wir nehmen also an, dass es eine gerade Zahl \(g < 2\) gibt, mit \(g = 2k, k \in \N\). Demzufolge würde gelten:

\[ \begin{align*} & g < 2 &\\ \Leftrightarrow\qquad & 2k < 2 & \text{(Def 1.1)}\\ \Leftrightarrow\qquad & k < 1 & \text{(GR)} \end{align*} \]

Dies steht im Widerspruch (↯) zu \(k \in \N\), da \(1\) die kleinste natürliche Zahl ist. Somit muss unsere Grundannahme, dass eine gerade (natürliche) Zahl kleiner \(2\) existiert, falsch sein. Damit muss die Aussage von auto wahr sein.

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Da man für einen Widerspruchsbeweis immer die ursprüngliche Aussage negieren muss, sollten wir wissen, wie die Negation einer Aussage funktioniert. Dabei werden alle Quantoren vertauscht, also aus \(\forall\) wird \(\exists\) und umgekehrt und die eigentliche Aussage \(a\) wird zu \(\neg A\). Zum Beispiel wird aus

\[\forall n \in \N \ \exists m \in \N \ : \ m^2 = n\]

nach dem Negieren

\[\exists n \in \N \ \forall m \in \N \ : \ \neg(m^2 = n),\]

also

\[\exists n \in \N \ \forall m \in \N \ : \ m^2 \neq n,\]

Beim Negieren von Ungleichungen sollten Sie aufpassen, denn \(\neg(a < b)\) bedeutet nicht \(a > b\), sondern \(a \geq b\).

Es gibt keine natürliche Zahl, die gleichzeitig gerade und ungerade ist. Oder kurz:

\[G \cap U = \varnothing\]

Wie nehmen für den Widerspruchsbeweis das Gegenteil der Behauptung des Satzes an. Wir nehmen also an, es gäbe eine Zahl \(a\), die gleichzeitig gerade und ungerade ist. Dann folgt:

\[ \begin{align*} & a = a &\\ \Leftrightarrow\qquad & 2k = 2k' - 1 & (\text{Def 1.1}) \\ \Leftrightarrow\qquad & 1 = 2k' - 2k & (\text{GR})\\ \Leftrightarrow\qquad & 1 = 2(k' - k) & (\text{GR})\\ \Leftrightarrow\qquad & 1 \text{ ist gerade} & (\text{Def 1.1}) \end{align*} \]

Dies steht im Widerspruch (↯) zu auto. Demnach muss die Annahme falsch sein, also haben die geraden und die ungeraden Zahlen keine Schnittmenge.

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Vollständige Induktion

Wir haben zuletzt gezeigt, dass eine Zahl nicht gleichzeitig gerade und ungerade sein kann. Dies zeigt aber noch nicht, dass alle natürlichen Zahlen entweder gerade oder ungerade sind. Für solche Aussagen, die für alle natürlichen Zahlen bewiesen werden müssen (oder anderen abzählbaren Mengen, die später in Kapitel 2 definiert werden), bietet sich das Beweisprinzip der vollständigen Induktion an.

Alle natürlichen Zahlen sind entweder gerade oder ungerade, aber nicht beides, oder kurz \[G\cup U = \N \quad \and \quad G\cap U = \varnothing\]

Den zweiten Teil von auto haben wir bereits in auto bewiesen. Es bleibt zu zeigen, dass alle natürlichen Zahlen entweder gerade oder ungerade sind. Dies weisen wir per vollständiger Induktion nach.

Induktionsanfang (\(n = 1\)):
\(1\) ist ungerade, da \(1 = 2\cdot 1 - 1\). Damit gilt die Behauptung für \(n = 1\).

Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass die Behauptung für ein \(n \in \N\) gilt.

Induktionsschritt (\(n \rightarrow n + 1\)):
Wir müssen nun zeigen, dass die Behauptung auch für \(n + 1\) gilt. Dabei dürfen wir die Induktionsvoraussetzung (IV) nutzen. Nach IV gilt die Behauptung für \(n\). Damit muss \(n\) entweder gerade oder ungerade sein. Wir führen eine Fallunterscheidung durch:

Fall (\(n = 2k\)) \[ \begin{align*} & n = 2k &\\ \Leftrightarrow\qquad & n + 1 = 2k + 1 & (\text{GR}) \\ \Leftrightarrow\qquad & n + 1 = 2k + 2 - 2 + 1 & (\text{GR})\\ \Leftrightarrow\qquad & n + 1 = 2(k + 1) - 1 & (\text{GR})\\ \Leftrightarrow\qquad & n + 1 \text{ ist ungerade} & (\text{Def 1.1}) \end{align*} \]
Fall (\(n = 2k - 1\)) \[ \begin{align*} & n = 2k - 1 &\\ \Leftrightarrow\qquad & n + 1 = 2k & (\text{GR})\\ \Leftrightarrow\qquad & n + 1 \text{ ist gerade} & (\text{Def 1.1}) \end{align*} \]

Damit gilt die Aussage auch für \(n + 1\) und somit für alle \(n \in \N\).

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Machen Sie sich die Idee der vollständigen Induktion am letzten Beispiel klar: Wir zeigen erst, dass die Behauptung für \(n = 1\) gilt. Anschließen zeigen wir, dass wir für ein beliebiges \(n\) aus der Gültigkeit von \(A(n)\) auf die Gültigkeit von \(A(n+1)\) schließen können. Damit gilt die Aussage also auch für \(n = 2\), und damit auch für \(n = 3\) und damit auch für \(n = 4\), usw…

Für alle natürlichen Zahlen \(n\) ist \(n^2 + n\) gerade, oder kurz

\[\forall n \in \N \,:\, (n^2 + n) \in G\]

Induktionsanfang (\(n = 1\)): \[1^2 + 1 = 2 = 2\cdot 1 \Rightarrow \text{ ist gerade}\]

Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass die Behauptung für ein \(n \in \N\) gilt.

Induktionsschritt (\(n \rightarrow n + 1\)):
Wir betrachten die Aussage für \(n + 1\):

\[ \begin{align*} (n + 1)^2 + (n + 1) & = (n + 1)(n + 1) + n + 1 &(\text{Def 1.2})\\ & = n^2 + n + 2n + 2 & (\text{GR})\\ & = (n^2 + n) + 2(n + 1) & (\text{GR})\\ \end{align*} \]

\(n^2 + n\) ist gerade nach Induktionsvoraussetzung.
\(2(n + 1)\) ist dann gerade nach auto.
schließlich ist die Summe dieser geraden Zahlen gerade nach auto.

Damit ist gilt die Behauptung für alle \(n \in \N\).

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Kontraposition

Zur Erinnerung: die Kontraposition beweist eine Implikation durch die äquivalente Formulierung

\[A \Rightarrow B\qquad \Leftrightarrow \qquad \neg B \Rightarrow \neg A\]

Wenn die Summe aus zwei natürlichen Zahlen ungerade ist, muss mindestens einer der beiden Summanden ungerade sein. Oder kurz:

\[\forall n,m \in \N \,:\, n + m \in U \Rightarrow (n \in U) \or (m \in U)\]

Die Kontraposition zu auto lautet:

\[\neg((n \in U) \or (m \in U)) \Rightarrow n + m \notin U .\]

Nach den de-morganschen Regeln ist diese Aussage äquivalent zu

\[(n \notin U) \and (m \notin U)) \Rightarrow n + m \notin U .\]

Weil wir in auto gezeigt haben, dass \(G \cap U = \varnothing\) und nach auto jede natürliche Zahl entweder gerade oder ungerade ist, ist \[n \notin U \Leftrightarrow n \in G\]

Somit ist die Kontraposition zu auto äquivalent zu

\[(n \in G) \and (m \in G)) \Rightarrow n + m \in G,\]

was wir in auto schon bewiesen haben. Damit ist auch auto bewiesen.

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