In Kapitel 2 haben wir die reellen Zahlen axiomatisch eingeführt und anschließend die restlichen Zahlenmengen davon abgeleitet. Allerdings haben wir bisher genau genommen noch nicht die Dezimaldarstellung reeller Zahlen definiert. Genau genommen ist also beispielsweise \(0.5\), \(2874.3728423\), oder \(0.\overline{3}\) bisher noch unbekannt für uns.
Mit dem Wissen über Reihen können wir dies nun angehen. Dabei wollen wir nur kurz die grundlegenden Definitionen einführen, die wir im Beweis für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen vorausgesetzt haben. Für die restliche Veranstaltung ist die Dezimaldarstellung (und auch die allgemeinere b-al-Darstellung) nicht relevant.
Wir definieren eine Basis \(b \in \N\setminus\set{1}\) und eine Folge von b-al-Stellen \(d_k\) mit \(d_k \in \set{0,1, \ldots, b}.\) Für alle \(m \in \N_0\) bezeichnen wir die Reihe
\[\pm \sum\limits^\infty_{k=-m}{d_k b^{-k}}\]
als b-adischen Bruch. Wenn die Basis \(b\) fest steht, können wir die Reihe auch durch Aneinanderreihung ihrer b-al-Stellen angeben, wobei wir ein “.” vor \(d_1\) setzen:
\((d_{-n}d_{-n + 1}\cdots d_{-1}d_0.d_1d_2d_3d_4\cdots)_b\)
Ist \(b = 10\), schreiben wir den Index der Aneinanderreihung gewöhnlicherweise nicht mit.
Die Definition wirkt etwas ungewöhnlich, aber für \(b = 10\) ergibt sich daraus unser gewohntes Dezimalsystem.
Für \(b = 10\) müssen die Dezimalstellen \(d_k\) aus der Menge \(\set{0,1,2,\ldots,9}\) sein
Mit \(m = 2\) und \(d_k = 1,2,5,4,9,0,1,0,0,0,0,\ldots\) ergibt sich damit die Aneinanderreihung \(12.54901000\ldots\)
Mit \(m = 0\) und \(d_k = 3,3,0,2,3,2,2,2,2,2,2,\ldots\) ergibt sich damit die Aneinanderreihung \(0.330232222\ldots\)
Mit \(m = 10\) und \(d_k = 1,2,3,1,2,3,0,0,0,0,0,\ldots\) ergibt sich damit die Aneinanderreihung \(1231230000.0000\ldots\)
Die Wahl von \(10\) ist hier willkürlich und wirkt nur für uns natürlich, weil wir daran gewöhnt sind, Zahlen im Dezimalsystem darzustellen. Das Dezimalsystem hat sich unabhängig voneinander in verschiedenen Völkern entwickelt, wobei die Basis \(10\) immer wieder unabhängig voneinander gewählt wurde, weil sie der Anzahl unserer Finger entspricht. Hätten Menschen stattdessen acht Finger, hätte sich vermutlich das Oktalsystem durchgesetzt. Es gibt aber auch andere prominente Zahlsysteme. Beispielsweise nutzten die alten Babylonier ein Zahlensystem mit \(b = 60\). Sie kennen natürlich auch die kleinste Basiswahl \(b = 2\), welche das Binärsystem ergibt oder vielleicht auch das Hexadezimalsystem \(b = 16\), welches unter anderem benutzt wird, um Farbwerte zu definieren. #D2691E ist beispielsweise die Farbe, die in Webstyles (CSS) auch als ‘chocolate’ bezeichnet wird, dabei stehen die Buchstaben für die zusätzlichen Ziffern von 10-15.
Es stellen sich zwei Fragen:
- Ergibt jeder b-adische Bruch eine reelle Zahl, oder mit anderen Worten: konvergiert die Reihe aus der Definition?
- Können wir jede reelle Zahl als b-adischen Bruch schreiben?
Dies beweisen wir nun nacheinander:
Jeder b-adischer Bruch konvergiert gegen eine reelle Zahl.
Beweis
Die ersten \(m\) Folgenglieder sind für die Konvergenz unerheblich. Der restliche b-adische Bruch lässt sich durch die geometrische Reihe abschätzen, da \(d_k \leq b - 1\):
\[ \sum\limits^\infty_{k=0}{d_k b^{-k}} \leq \sum\limits^\infty_{k=0}{(b-1) b^{-k}} = (b-1)\sum\limits^\infty_{k=0}{\left(\frac{1}{b}\right)^{k}}\]
Damit konvergiert der b-adische Bruch (absolut) nach dem Majorantenkriterium.
▢
Für jede reelle Zahl \(x\) gibt es einen b-adischen Bruch (Basis \(b\)) mit den Grenzwert \(x\).
Beweis
Wir beweisen den Satz für \(x \geq 0\). Negative b-adische Darstellungen unterscheiden sich nur durch ihr Vorzeichen.
Für den Beweis geben wir eine Konstruktionsanleitung der \(n\)-ten Teilsumme des b-adischen Bruchs für \(x\) an per vollständiger Induktion. Unsere Induktionsbehauptung dabei ist, dass für die n-te Teilsumme gilt \[x = \sum\limits^n_{k=-m}{d_k b^{-k}} + r_n \quad \text{mit} \quad 0 \leq r_n < b^{-n}\] wobei \(r_n\) den Fehler zu \(x\) angibt.
Da \(\N_0\) nach dem archimedischen Axiom unbeschränkt ist finden wir immer ein minimales \(m \in \N_0\) mit \(x < b^{m + 1}\), damit bestimmt \(-m\) den ersten Summenindex der b-al-Darstellung von \(x\). Wir führen nun die Konstruktion per vollständiger Induktion:
Induktionsanfang (\(n = -m\)):
Aus \(0 \leq x < b^{m + 1}\) folgt \(0 \leq xb^{-m} < b\).
Somit können wir \(xb^{-m}\) zerlegen in eine natürliche Zahl \(a_{-m}\) zwischen \(0\) und \(b-1\) und ein \(\delta \in \R\) mit \(0 \leq \delta < 1\): \[xb^{-m} = a_{-m} + \delta \quad \Rightarrow \quad x = a_{-m}b^m + \delta b^m\] Damit ist unser erstes Restfolgenglied \(r_{-m} = \delta b^m < b^m\).
Induktionsannahme: Angenommen, für ein beliebiges \(n \in \set{-m, -m + 1, \ldots, 0}\cup \N\) gilt \[x = \sum\limits^n_{k=-m}{d_k b^{-k}} + r_n \quad \text{mit} \quad 0 \leq r_n < b^{-n}\]
Induktionsschritt \((n \to n + 1)\):
Nach Induktionsannahme gilt \[0 \leq r_n < b^{-n} \Rightarrow 0 \leq r_nb^{n + 1} < b.\] Somit können wir \(r_nb^{n + 1}\) zerlegen in eine natürliche Zahl \(a_{n + 1}\) zwischen \(0\) und \(b-1\) und ein \(\delta \in \R\) mit \(0 \leq \delta < 1\): \[r_nb^{n + 1} = a_{n + 1} + \delta \quad \Leftrightarrow \quad r_n = a_{n + 1}b^{-(n + 1)} + \delta b^{-(n + 1)}\] Wir definieren \(r_{n + 1} = \delta b^{-(n + 1)}\) und es ergibt sich zusammen mit der Induktionsannahme: \[x = \sum\limits^n_{k=-m}{d_k b^{-k}} + a_{n + 1}b^{-(n + 1)} + r_{n + 1}= \sum\limits^{n+1}_{k=-m}{d_k b^{-k}} + r_{n + 1}\] Aus \(r_{n + 1} = \delta b^{-(n + 1)}\) und \(0 \leq \delta < 1\) folgt \(0 \leq r_{n + 1} < b^{-(n + 1)}\) und damit die Induktionsbehauptung für \(n + 1\).
Es bleibt zu zeigen, dass \(\liminf{n}r_n = 0\) dies folgt aus dem Sandwich-Theorem, denn durch \(b \geq 2\) gilt \[0 \leq r_n < b^{-n} \text{ und } \liminf{n}b^{-n} = 0.\]
Somit konvergiert der konstruierte b-adische Bruch gegen \(x\).
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\(\frac{19}{8}\) darstellen in Dezimaldarstellung (\(b = 10\)):
Die kleinste größere Zehnerpotenz ist \(10^1 = 10 > 19/8\). Somit starten wir mit \(k = 0\).\(19/8 = 2\cdot 10^0 + 3/8\), damit ist die 0. Dezimalstelle \(a_{0} = 2\).
\(3/8 = 3 \cdot 10^{-1} + 3/40\), damit ist die 1. Dezimalstelle \(a_{1} = 3\).
\(3/40 = 7 \cdot 10^{-2} + 1/200\), damit ist die 2. Dezimalstelle \(a_{2} = 7\).
\(1/200 = 5 \cdot 10^{-3} + 0\), damit ist die 3. Dezimalstelle \(a_{3} = 5\).Es ergibt sich insgesamt \(19/8 = 2\cdot 10^0 + 3\cdot 10^{-1} + 7\cdot 10^{-2} + 5\cdot 10^{-3}\), oder \(19/8 = (2.375)_{10}\)
\(\frac{19}{8}\) darstellen in Binärdarstellung (\(b = 2\)):
Die kleinste größere Zweierpotenz ist \(2^2 = 4 > 19/8\). Somit starten wir mit \(k = -1\).\(19/8 = 1\cdot 2^1 + 3/8\), damit ist die -1. Binärstelle \(a_{-1} = 1\).
\(3/8 = 0 \cdot 2^0 + 3/8\), damit ist die 0. Binärstelle \(a_{0} = 0\).
\(3/8 = 0 \cdot 2^{-1} + 3/8\), damit ist die 1. Binärstelle \(a_{1} = 0\).
\(3/8 = 1 \cdot 2^{-2} + 1/8\), damit ist die 2. Binärstelle \(a_{2} = 1\).
\(1/8 = 1 \cdot 2^{-3} + 0\), damit ist die 3. Binärstelle \(a_{3} = 1\).Es ergibt sich insgesamt \(19/8 = 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 + 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3}\), oder \(19/8 = (10.0011)_2\)
\(\frac{19}{8}\) darstellen in Pentaldarstellung (\(b = 5\)):
Die kleinste größere Fünferpotenz ist \(5^1 = 5 > 19/8\). Somit starten wir mit \(k = 0\).\(19/8 = 2\cdot 5^0 + 3/8\), damit ist die 0. Dezimalstelle \(a_{0} = 2\).
\(3/8 = 1 \cdot 5^{-1} + 7/40\), damit ist die 1. Dezimalstelle \(a_{1} = 1\).
\(7/40 = 4 \cdot 5^{-2} + 3/200\), damit ist die 2. Dezimalstelle \(a_{2} = 4\).
\(3/200 = 1 \cdot 5^{-3} + 7/1000\), damit ist die 3. Dezimalstelle \(a_{3} = 1\).
\(7/1000 = 4 \cdot 5^{-4} + 3/5000\), damit ist die 4. Dezimalstelle \(a_{4} = 4\).
…Es ergibt sich insgesamt \(19/8 = 2\cdot 5^0 + 1\cdot 5^{-1} + 4\cdot 5^{-2} + 1\cdot 5^{-3} + 4\cdot 5^{-4} + \ldots\), oder \(19/8 = (2.14141414\ldots)_{5} = (2.\overline{14})_5\).
Die Umrechnungen im letzten Beispiel wirken etwas umständlich, was aber hauptsächlich daran liegt, dass wir an andere Zahlensysteme nicht gewöhnt sind. Wir können auch in b-al-Systemen wie gewohnt addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren, wie sie es aus der Schule gewohnt sind. Der einzige Unterschied ist, dass wir einen Übertrag schon bei \(b\) vornehmen müssen und nicht erst wie gewohnt bei \(10\), wie das folgende Beispiel zeigt.
Betrachten wir die Rechnung \(25 + 13 = 38\) im gewohnten Dezimalsystem, so addieren wir einfach die einzelnen Ziffern: \(3 + 5 = 8\) und \(2 + 1 = 3\).
Ergibt sich bei der Ziffernaddition ein Wert größer als \(10\), so teilen wir diesen erneut in dessen b-adische Form auf z.B. \[\begin{align*}165 + 72 &= (1\cdot 10^2 + 6\cdot10^1 + 5\cdot10^0) + (7\cdot10^1 + 2\cdot10^0) \\ &= 1\cdot10^2 + 13\cdot10^1 + 7\cdot10^0 \\ &= 1\cdot10^2 + (1 \cdot 10^1 + 3\cdot10^0)\cdot10^1 + 7\cdot10^0 \\ &= 2\cdot10^2 + 3\cdot10^1 + 7\cdot10^0 \\ &= 237\end{align*}\]
Damit ergibt sich der gewohnte Übertrag auf die nächstgrößere Ziffer, wie Sie es in der Grundschule gelernt haben. Dieses Prinzip können wir aber nun auch für einen beliebigen b-adischen Bruch nutzen. Dabei findet der Übertrag immer statt, wenn wir \(b\) überschreiten:
\[\begin{align*}(13)_5 + (11)_5 &= (24)_5\\ (13)_5 + (14)_5 &= (32)_5\\ (123)_5 + (322)_5 &= (1000)_5\\ (10011)_2 + (10101)_2 &= (101000)_2 \end{align*}\]
Genauso können wir auch die Multiplikation wie gewohnt in beliebigen b-al-Systemen ausführen, es ändert sich wieder nur der Übertrag ab \(b\) statt ab \(10\). Wollen wir beispielsweise \((14)_5 \cdot (13)_5\) berechnen, teilt man wie gewohnt auf: \((14)_5 \cdot (13)_5 = (14)_5 \cdot (3)_5 + (14)_5 \cdot (10)_5\). Die Multiplikation mit \((10)_5\) erhöht jede Stelle um einen Index: \((14)_5 \cdot (10)_5 = (140)_5\). Die zweite Multiplikation können wir weiter unterteilen \[\begin{align*}(14)_5 \cdot (3)_5 &= (10)_5\cdot(3)_5 + (4)_5\cdot(3)_5 = (30)_5 + (4)_5\cdot(3)_5\\ &= (30)_5 + (4)_5 + (4)_5 + (4)_5 = (13)_5 + (4)_5 = (22)_5.\end{align*}\] Insgesamt ergibt sich also: \[(14)_5 \cdot (13)_5 = (140)_5 + (30)_5 + (22)_5 = (220)_5 + (22)_5 = (242)_5.\]
Für uns wirkt diese Multiplikation recht kompliziert, allerdings liegt das nur daran, dass wir an das Dezimalsystem gewöhnt sind. Vielleicht erinnern Sie sich an die Zeit, in der Sie das kleine Einmaleins des Dezimalsystems auswendig gelernt haben. Also das Ergebnis jeder Multiplikation aus zwei natürlichen Zahlen \(a,b \leq 10\) (55 verschiedene Kombinationen).
Wenn unsere Zivilisation ein Pentalsystem (\(b = 5\)) nutzen würde, hätten Sie damals stattdessen Rechnungen wie \((4)_5\cdot(3)_5 = (22)_5\) auswändig gelernt und die obige Multiplikation würde ihnen vollkommen natürlich vorkommen. Das kleine Einmaleins im Pentalsystem umfasst nur \(25\) unterschiedliche Kombinationen. Im Hexadezimalsystem \(78\) und im Binärsystem sogar nur \(3\) Möglichkeiten:
- \(0 \cdot 0 = 0\)
- \(1 \cdot 0 = 0 \cdot 1 = 0\)
- \(1 \cdot 1 = 1\)
Dafür muss man selbst für einfache Multiplikationen, wie \(10\cdot 7\) bereits mit sehr vielen Binärstellen rechnen: \((1010)_2\cdot (111)_2 = (1000110)_2\). Man könnte \(b = 10\) also als guten Kompromiss zwischen dem Umfang des kleinen Einmaleins und der Ziffernlänge von Zahlen unseres Alltags bezeichnen.
Man kann zeigen, dass die b-al-Darstellung jeder rationalen Zahl entweder nach endlich vielen Schritten auf Rest \(r_n = 0\) führt (abbrechende Darstellung), oder sich eine Folge von b-al-Stellen unendlich wiederholt (periodische Darstellung). Umgekehrt ergibt jede abbrechende oder periodische b-al-Darstellung eine rationale Zahl. Daraus folgt, dass jede irrationale Zahl eine nicht abbrechende, nicht periodische b-al-Darstellungen besitzen muss. Sie können zur Übung einmal zeigen, wie Sie eine einfache periodische Dezimaldarstellung wie \(x = 0.\overline{23}\) in einen Bruch umwandeln können. Dafür benötigen Sie nur ihr Wissen über Reihen.