Mathematik für Informatik 2

Sätze zu stetigen Funktionen

Prof. Dr. Mario Botsch

Lehrstuhl für Computergraphik, TU Dortmund

Sommersemester 2026
🚀 by Decker

Worum geht’s heute?

  • Kombination von stetigen Funktionen
  • Umkehrfunktion stetiger Funktionen
  • Maximum und Minimum stetiger Funktionen
  • Zwischenwertsatz
  • Gleichmäßige Stetigkeit

Rechenregeln für stetige Funktionen

Satz 4.27: Operationen auf stetigen Funktionen

Seien \(f, g \colon A \to \R\) Funktionen, die in \(a \in A\) stetig sind, und sei \(c \in \R\).
Dann sind auch die folgenden Funktionen im Punkt \(a\) stetig:

  1. \(f+g: A \to \R\)
  2. \(c \cdot f: A \to \R\)
  3. \(f \cdot g: A \to \R\)

Ist \(g(a) \neq 0\), dann ist auch die folgende Funktion in \(a\) stetig:

  1. \(\frac{f}{g}: A' \to \R\)

Dabei ist \(A' = \set{ x \in A \mid g(x) \neq 0 }\).

  • Ist \(f(x) = c x^n\) für beliebige \(c \in \R\) und \(n \in \N\) stetig?
  • Ist \(f(x) = \frac{\exp(x)}{x^2 + 1}\) stetig?

Komposition stetiger Funktionen

Satz 4.29: Komposition stetiger Funktionen

Seien \(f \colon A \to \R\) und \(g \colon B \to \R\) Funktionen mit \(f(A) \subseteq B\).
Die Funktion \(f\) sei in \(a \in A\) und \(g\) in \(b = f(a) \in B\) stetig.

Dann ist die Funktion \(g \circ f \colon A \to \R\) in \(a\) stetig.

  • \(f(x) = \exp(x)\) und \(g(x) = x^2\) sind stetig in \(\R\),
    daher ist auch \(h(x) = \exp(x^2)\) stetig in \(\R\).

Zwischenwertsatz

Satz 4.31: Zwischenwertsatz

Sei \(f \colon \left[ a, b \right] \to \R\) eine stetige Funktion mit \(f(a) < 0 < f(b)\) oder \(f(a) > 0 > f(b)\). Dann existiert ein \(c \in (a,b)\) mit \(f(c) = 0\).

Allgemeiner gilt für alle \(y \in \R\): Wenn \(f(a) < y < f(b)\) oder \(f(a) > y > f(b)\), dann existiert ein \(d \in (a, b)\) mit \(f(d) = y\).

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Intervallschachtelung aus Beweis kann als (langsamer) Algorithmus zur Nullstellensuche verwendet werden.

Intervallabbildung und Umkehrfunktionen

Satz 4.33: Intervallabbildung stetiger Funktionen

Sei \(I \subseteq \R\) ein Intervall und \(f \colon I \to \R\) eine stetige Funktion. Dann ist auch \(J = f(I) \subseteq \R\) ein Intervall.

Satz 4.34: Umkehrfunktionen stetiger Funktionen

Sei \(I \subseteq \R\) ein Intervall und \(f \colon I \to \R\) stetig und streng monoton (wachsend oder fallend). Sei \(J = f(I)\), dann bildet \(f\) das Intervall \(I\) bijektiv auf \(J\) ab und die Umkehrfunktion \(f^{-1} \colon J \to \R\) ist stetig.

  • \(f\colon\R_{>0} \to \R_{>0}\), \(f(x) = x^2\), ist stetig und streng monoton wachsend. Damit ist die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}\) ebenfalls stetig auf \(f(\R_{>0}) = \R_{>0}\).

Minimum und Maximum auf kompakten Intervallen

Definition 3.35: Kompaktheit

Wir nennen ein Intervall \(I\) kompakt, wenn es abgeschlossen und beschränkt ist.

Satz 4.36: Minimum und Maximum auf kompakten Intervallen

Auf einem kompakten Intervall \([a,b]\) ist jede stetige Funktion \(f\colon [a,b] \to \R\) beschränkt und nimmt ihr Minimum und Maximum an.

  • Vorsicht: Satz gilt nicht für (halb)offene Intervalle
    • \(f(x)=1/x\) ist in \((0,1)\) stetig, aber unbeschränkt.
    • \(f(x)=x\) ist in \((0,1)\) stetig und beschränkt, nimmt aber weder 1 noch 0 an.

Gleichmäßige Stetigkeit

Definition 4.37: Gleichmäßige Stetigkeit

Eine Funktion \(f: A \to \R\) heißt gleichmäßig stetig, wenn gilt: \[ \forall \eps > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x, y \in A \gilt \abs{x - y} < \delta \folgt \abs{f(x) - f(y)} < \eps . \]

  • Hier zum Vergleich das \(\eps\)-\(\delta\)-Kriterium der “normalen” Stetigkeit: \[ \forall \eps > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in A \gilt \abs{x - a} < \delta \folgt \abs{f(x) - f(a)} < \eps. \]
  • Bei gleichmäßiger Stetigkeit hängt \(\delta\) nicht von \(a\) bzw. \(y\) ab!

Demo: Gleichmäßige Stetigkeit

App von Andreas Lindner

Quiz: Negation gleichmäßige Stetigkeit

Eine Funktion \(f: A \to \R\) ist gleichmäßig stetig, wenn gilt:

\[ \forall \eps > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x, y \in A \gilt \abs{x - y} < \delta \folgt \abs{f(x) - f(y)} < \eps .\]

Wann ist eine Funktion nicht gleichmäßig stetig? Was ist die korrekte Negation?

Gleichmäßige Stetigkeit, kompakte Intervalle

Satz 4.39: Gleichmäßige Stetigkeit auf kompakten Intervallen

Ist eine Funktion \(f \colon A \to \R\) auf einem kompakten Intervall \([a,b] \subseteq A\) stetig, dann ist sie dort auch gleichmäßig stetig.

Literatur