1. Seien \((a_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N}, (c_n)_{n\in\N}\) drei reellwertige Folgen mit \(a_n \leq b_n \leq c_n\) \(\forall n\in\N\).
   
   Beweisen Sie: wenn \((a_n)_{n\in\N}, (c_n)_{n\in\N}\) konvergent sind mit \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} c_n = b \in \R\), dann ist \((b_n)_{n\in\N}\) konvergent mit \(\lim\limits_{n \to \infty} b_n = b\).

2. Ist die folgende Aussage richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort.
   
   Ist \((a_n)_{n\in\N}\) eine Nullfolge und \((b_n)_{n\in\N}\) eine beliebige Folge, so ist \((a_n\cdot b_n)_{n\in\N}\) ebenfalls eine Nullfolge.

3. Ist die folgende Aussage richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort.
   
   Um die Konvergenz einer Folge zu zeigen, reicht es, zu zeigen, dass alle ihre Teilfolgen beschränkt sind.

Sei \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) die folgende rekursiv definierte Folge \[\begin{align*} a_1 & = 0\\ a_{n+1} & = \frac{1}{2+a_n} \qquad \text{für } n\in\mathbb{N}. \end{align*}\]

1. Zeigen Sie, dass für alle \(n>1\) gilt \(0<a_{n}<1\).

Sei \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) die folgende rekursiv definierte Folge \[\begin{align*} a_1 & = 0\\ a_{n+1} & = \frac{1}{2+a_n} \qquad \text{für } n\in\mathbb{N}. \end{align*}\]

2. Zeigen Sie, dass \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Cauchy-Folge ist.

Sei \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) die folgende rekursiv definierte Folge \[\begin{align*} a_1 & = 0\\ a_{n+1} & = \frac{1}{2+a_n} \qquad \text{für } n\in\mathbb{N}. \end{align*}\]

3. Bestimmen Sie den Grenzwert von \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\).

Prüfen Sie die folgenden Reihen auf gewöhnliche und absolute Konvergenz.

1. \[\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{20k^4 + 7}{25k^4 + k}\right)^k\]

Prüfen Sie die folgenden Reihen auf gewöhnliche und absolute Konvergenz.

2. \[\sum\limits_{k=1}^\infty k!a^k \quad \text{für } 0<a<1\]

Prüfen Sie die folgenden Reihen auf gewöhnliche und absolute Konvergenz.

3. \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{\sqrt{k}}\]

Prüfen Sie die folgenden Reihen auf gewöhnliche und absolute Konvergenz.

1. \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+1}{k^2+k-1}\]

Prüfen Sie die folgenden Reihen auf gewöhnliche und absolute Konvergenz.

2. \[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{1}{5}\right)^{2k}}{2^k}\]

Prüfen Sie die folgenden Reihen auf gewöhnliche und absolute Konvergenz.

3. \[\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\left(\binom{n}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{2\left(n+k\right)}\right)\right)\]